कक्षा 10 गणित अध्याय 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण – नोट्स, प्रश्न उत्तर व MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

📌 पाठ परिचय (Introduction)

इस पाठ में हम दो समीकरणों के जोड़े (Pair) को हल करना सीखते हैं।
सामान्य रूप:
समीकरण 1 (Eq 1): a₁x + b₁y + c₁ = 0
समीकरण 2 (Eq 2): a₂x + b₂y + c₂ = 0

जब हम इन दोनों को ग्राफ पर बनाते हैं, तो तीन स्थितियाँ बन सकती हैं। नीचे दिए गए चित्रों में लाल रेखा (Red Line) पहली समीकरण है और नीली रेखा (Blue Line) दूसरी समीकरण है।

1. ग्राफ और हल की शर्तें (Simplified Diagrams)

1. अद्वितीय हल (Unique Solution)

शर्त: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
मतलब: दोनों रेखाएँ एक-दूसरे को सिर्फ़ एक बिंदु (P) पर काटती हैं। यही इसका हल है।

2. कोई हल नहीं (No Solution)

शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
मतलब: रेखाएँ रेल की पटरी की तरह समांतर (Parallel) हैं। कभी नहीं मिलेंगी।

3. अनेक हल (Infinite Solutions)

शर्त: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
मतलब: एक रेखा के ठीक ऊपर दूसरी रेखा है। हर बिंदु हल है।

2. हल करने की विधियाँ

आइए विलोपन विधि (Elimination Method) और प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) को सरल भाषा में समझते हैं।

1. विलोपन विधि (Elimination Method)

सिद्धांत (Concept): इस विधि का मुख्य उद्देश्य दो चरों (x और y) में से किसी एक को "गायब" (Eliminate) करना है। जब एक चर गायब हो जाता है, तो समीकरण बहुत आसान हो जाता है।

🤔 लॉजिक क्या है?
हम गुणा करके गुणांक (Coefficients) बराबर करते हैं। जैसे ही गुणांक बराबर होते हैं, उन्हें जोड़ने या घटाने पर वह चर कट जाता है (शून्य हो जाता है)।

उदाहरण द्वारा समझें:

समीकरण:
1) 2x + 3y = 8
2) 4x + 5y = 14

चरण 1: गुणांक बराबर करना
समीकरण (1) में x का गुणांक 2 है और समीकरण (2) में 4 है।
बराबर करने के लिए समीकरण (1) को 2 से गुणा करें:
(2x + 3y = 8) × 2 ⇒ 4x + 6y = 16 ...(नया समीकरण 3)
अब x का गुणांक दोनों में 4 हो गया है।

चरण 2: घटाना (Subtracting)
अब समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाएं:

4x + 6y = 16

- (4x + 5y = 14)

y = 2

हमें y = 2 मिल गया। (x गायब हो गया!)

चरण 3: मान रखना
y = 2 को समीकरण (1) में रखें:
2x + 3(2) = 8
2x + 6 = 8
2x = 8 - 6
2x = 2 ⇒ x = 1

अंतिम उत्तर: x = 1, y = 2

2. प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

सिद्धांत (Concept): इसका मतलब है "एक जगह से उठाना और दूसरी जगह रखना"। हम एक समीकरण से x या y का मान निकालते हैं (जो भी आसान हो) और उसे दूसरे समीकरण में फिट कर देते हैं।

🤔 लॉजिक क्या है?
जब हम x का मान y के रूप में दूसरे समीकरण में रखते हैं, तो वह पूरा समीकरण केवल 'y' में बदल जाता है। एक चर वाला समीकरण हल करना बहुत आसान होता है।

उदाहरण द्वारा समझें:

समीकरण:
1) x + y = 5
2) 2x - 3y = 4

चरण 1: मान निकालना (Isolate Variable)
समीकरण (1) सबसे आसान दिख रहा है। इससे x का मान निकालें:
x = 5 - y ...(समीकरण 3)

चरण 2: प्रतिस्थापित करना (Substitute)
अब इस 'x' के मान को समीकरण (2) में रखें:
2(5 - y) - 3y = 4
(यहाँ x की जगह हमने 5-y रख दिया)

चरण 3: हल करना
10 - 2y - 3y = 4
10 - 5y = 4
-5y = 4 - 10
-5y = -6
y = 6/5

चरण 4: दूसरा मान निकालना
अब y का मान समीकरण (3) में रखें:
x = 5 - (6/5)
x = (25 - 6) / 5
x = 19/5

अंतिम उत्तर: x = 19/5, y = 6/5

कौन सी विधि कब इस्तेमाल करें?

विलोपन विधि (Elimination)	प्रतिस्थापन विधि (Substitution)
तब सबसे अच्छी है जब गुणांक (Coefficients) आसानी से कटने वाले हों। (जैसे 2x और 4x)	तब सबसे अच्छी है जब किसी एक चर का गुणांक 1 हो। (जैसे x + y = 5)
यह विधि अक्सर तेज़ (Faster) होती है और इसमें गलतियां कम होती हैं।	यह विधि कभी-कभी लंबी हो सकती है, खासकर जब भिन्न (Fractions) आ जाएं।

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 🔍 शर्तें याद रखें (Most Important): यह टेबल 100% पक्की कर लें:
  • अद्वितीय हल (प्रतिच्छेदी): a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
  • कोई हल नहीं (समांतर): a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (असंगत)
  • अनेक हल (संपाती): a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ (संगत/आश्रित)
• 🧩 k का मान: बोर्ड परीक्षा में "k का वह मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण के कोई हल न हों/अनेक हल हों" वाला प्रश्न बहुत आम है। ऊपर दी गई शर्तों का ही उपयोग करें।
• 🚀 विधि का चयन: यदि प्रश्न में विधि का नाम न लिखा हो, तो हमेशा विलोपन विधि (Elimination Method) का प्रयोग करें। यह सबसे तेज़ है और इसमें गलती होने की संभावना कम होती है।
• 🚣 नाव और धारा: धारा के अनुकूल (Downstream) चाल = (x + y) और धारा के प्रतिकूल (Upstream) चाल = (x - y) होती है। हमेशा नाव की चाल को x और धारा की चाल को y मानें।

"अध्याय 3 में अनुपात की तुलना (a₁/a₂) वाले प्रश्न और 'k का मान' वाले प्रश्न सबसे अधिक स्कोरिंग हैं।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (10 Questions)

(नीचे दिए गए 10 प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जाँचें)

Q1. 2x + 3y = 9 और 4x + 6y = 18 के हल कैसे होंगे?

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हल:
अनुपात: 2/4 = 1/2, 3/6 = 1/2, 9/18 = 1/2
सभी बराबर हैं (a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂)
उत्तर: अनेक हल (Infinite Solutions) - संपाती रेखाएँ।

Q2. k के किस मान के लिए x - 2y = 3 और 3x + ky = 1 का अद्वितीय हल होगा?

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हल:
शर्त: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
1/3 ≠ -2/k
k ≠ -6
उत्तर: k का मान -6 नहीं होना चाहिए (बाकी कुछ भी हो सकता है)।

Q3. समीकरण x + y = 14 और x - y = 4 को हल करें।

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हल:
दोनों को जोड़ें: 2x = 18 ⇒ x = 9
मान रखें: 9 + y = 14 ⇒ y = 5
उत्तर: x = 9, y = 5

Q4. क्या 2x - 3y = 8 और 4x - 6y = 9 संगत (Consistent) है?

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हल:
2/4 = 1/2, -3/-6 = 1/2, लेकिन 8/9 अलग है。
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ (समांतर रेखाएँ)
उत्तर: नहीं, यह असंगत (Inconsistent) है।

Q5. प्रतिस्थापन विधि से हल करें: x - y = 3, x/3 + y/2 = 6

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हल:
1. x = y + 3
2. दूसरे में रखें: (y+3)/3 + y/2 = 6
2(y+3) + 3y = 36 (LCM 6 से गुणा)
2y + 6 + 3y = 36
5y = 30 ⇒ y = 6
x = 6 + 3 = 9
उत्तर: x = 9, y = 6

Q6. 2 किग्रा सेब और 1 किग्रा अंगूर का मूल्य 160 था। 4 किग्रा सेब और 2 किग्रा अंगूर का मूल्य 300 था। बीजगणितीय रूप लिखें।

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हल:
माना सेब = x, अंगूर = y
1) 2x + y = 160
2) 4x + 2y = 300
उत्तर: ये दोनों समीकरण हैं।

Q7. (दीर्घ) k का मान ज्ञात करें यदि kx + 3y = k-3 और 12x + ky = k के अनेक हल हों।

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हल:
k/12 = 3/k = (k-3)/k
k/12 = 3/k ⇒ k² = 36 ⇒ k = 6
(6-3)/6 = 3/6 = 1/2 (सत्यापित)
उत्तर: k = 6

Q8. (दीर्घ) नूरी की आयु सोनू की आयु से तीन गुना (5 वर्ष पूर्व) थी। 10 वर्ष बाद दोगुनी होगी। आयु बताएँ।

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हल:
x - 5 = 3(y - 5) ⇒ x - 3y = -10 ...(i)
x + 10 = 2(y + 10) ⇒ x - 2y = 10 ...(ii)
घटाने पर: -y = -20 ⇒ y = 20
x = 10 + 2(20) = 50
उत्तर: नूरी 50 वर्ष, सोनू 20 वर्ष।

Q9. समीकरण x + 2y - 4 = 0 और 2x + 4y - 12 = 0 ज्यामितीय रूप से कैसी रेखाएँ दर्शाते हैं?

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हल:
a₁/a₂ = 1/2
b₁/b₂ = 2/4 = 1/2
c₁/c₂ = -4/-12 = 1/3
चूँकि 1/2 = 1/2 ≠ 1/3 है, यह "समांतर रेखाओं" की शर्त है।
उत्तर: समांतर रेखाएँ (Parallel Lines)

Q10. (दीर्घ) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात करें।

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हल:
माना भिन्न x/y है।
शर्त 1: (x+2)/(y+2) = 9/11
⇒ 11(x+2) = 9(y+2) ⇒ 11x - 9y = -4 ...(i)

यदि दोनों में 3 जोड़ें (मानक प्रश्न) तो 5/6 हो जाती है:
(x+3)/(y+3) = 5/6 ⇒ 6x - 5y = -3 ...(ii)

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर:
x = 7, y = 9
उत्तर: भिन्न 7/9 है।

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

⏳ 50:00

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Q1. रैखिक समीकरण का आलेख (Graph) कैसा होता है?

परवलय सरल रेखा वृत्त वक्र रेखा

उत्तर:
व्याख्या: 'रैखिक' शब्द ही 'रेखा' से बना है। इसलिए, रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा एक सीधी सरल रेखा (Straight Line) होता है।

Q2. समीकरण युग्म 2x + 3y = 5 और 4x + 6y = 15 का कोई हल न हो, इसके लिए क्या शर्त है?

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जब दो रेखाएं समांतर होती हैं, तो वे कभी नहीं मिलतीं, इसलिए 'कोई हल नहीं' होता। इसकी शर्त a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ है।

Q3. यदि दो रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (काटती हैं), तो समीकरण के कितने हल होंगे?

केवल एक (अद्वितीय) कोई हल नहीं अनगिनत हल दो हल

उत्तर:
व्याख्या: रेखाएं जितनी जगह मिलती हैं, उतने ही हल होते हैं। अगर एक बिंदु पर काट रही हैं, तो केवल एक हल होगा।

Q4. समीकरण x + y = 6 में कितने हल हो सकते हैं?

एक दो अनंत शून्य

उत्तर:
व्याख्या: यह एक अकेला समीकरण है। इसमें x का मान बदलते जाओगे तो y का मान भी बदलता जाएगा। ऐसे अनगिनत जोड़े बन सकते हैं।

Q5. के (k) के किस मान के लिए समीकरणों x + 2y = 7 और 2x + ky = 14 के संपाती (अनंत) हल होंगे?

2 3 4 5

उत्तर:
व्याख्या: अनंत हल के लिए अनुपात बराबर होना चाहिए: 1/2 = 2/k। तिरछा गुणा (Cross multiply) करें: k × 1 = 2 × 2, तो k = 4।

Q6. यदि समीकरणों का कोई हल न हो, तो वह युग्म क्या कहलाता है?

संगत (Consistent) असंगत (Inconsistent) आश्रित इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जिसका कोई हल (Solution) न निकले, यानी बात न बने, उसे 'असंगत' कहते हैं।

Q7. समीकरण निकाय 6x - 2y + 9 = 0 और 3x - y + 12 = 0 का आलेख कैसी रेखाएं होंगी?

संपाती समांतर प्रतिच्छेदी इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: अनुपात जांचें: a₁/a₂ = 6/3 = 2; b₁/b₂ = -2/-1 = 2; c₁/c₂ = 9/12 = 3/4। पहले दो बराबर हैं पर तीसरा नहीं (2 = 2 ≠ 3/4)। यह 'समांतर रेखाओं' की शर्त है।

Q8. x = -5 का आलेख कैसी सरल रेखा होगी?

x-अक्ष के समांतर y-अक्ष के समांतर मूल बिंदु से जाती हुई इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जब x का मान फिक्स (-5) हो, तो लाइन y-अक्ष के साथ-साथ (समांतर) खड़ी होगी।

Q9. यदि समीकरण x + 2y = 3 और 5x + ky = 15 के अनगिनत हल हों, तो k का मान क्या होगा?

5 10 2 6

उत्तर:
व्याख्या: अनगिनत हल के लिए: 1/5 = 2/k। तिरछा गुणा करें: k = 5 × 2 = 10।

Q10. समीकरण युग्म x + 2y = 4 और 2x + y = 5 का हल क्या होगा?

(2, 1) (1, 2) (2, 2) (1, 1)

उत्तर:
व्याख्या: विकल्प (a) (2, 1) रखकर देखें। 2 + 2(1) = 4 (सही)। 2(2) + 1 = 5 (सही)। दोनों समीकरण संतुष्ट हैं।

Q11. दो चरों वाले रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 के कितने अधिकतम हल संभव हैं?

1 2 अनगिनत इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: एक अकेले रैखिक समीकरण के हमेशा अनगिनत (Infinite) हल होते हैं।

Q12. यदि 2x + 3y = 11 और 2x - 4y = -24 हो, तो y का मान क्या होगा?

4 5 1 -2

उत्तर:
व्याख्या: समीकरणों को घटाने पर: (2x+3y) - (2x-4y) = 11 - (-24)। तो 7y = 35, इसलिए y = 5।

Q13. रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की कितनी बीजीय विधियां हैं?

1 2 3 4

उत्तर:
व्याख्या: मुख्य रूप से 3 विधियां हैं: (1) प्रतिस्थापन (Substitution), (2) विलोपन (Elimination), और (3) वज्र-गुणन (Cross-multiplication)।

Q14. आश्रित समीकरणों के युग्म का हल कैसा होता है?

अद्वितीय (एक हल) कोई हल नहीं अनगिनत हल इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: आश्रित (Dependent) का मतलब है एक रेखा दूसरी के ऊपर है (संपाती)। इसलिए उनके अनगिनत हल होते हैं।

Q15. यदि समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 में a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ हो, तो हल कैसा होगा?

कोई हल नहीं अद्वितीय (एक) हल अनेक हल इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जब पहले दोनों अनुपात बराबर नहीं होते (≠), तो रेखाएं एक बिंदु पर काटती हैं। इसे अद्वितीय (Unique) हल कहते हैं।

Q16. समीकरण x + y = 14 और x - y = 4 को हल करने पर x का मान क्या होगा?

5 9 4 10

उत्तर:
व्याख्या: दोनों समीकरणों को जोड़ दें: 2x = 18, इसलिए x = 9।

Q17. यदि एक भिन्न के अंश और हर दोनों में 1 जोड़ दिया जाए, तो वह 4/5 हो जाती है। यह कथन किस समीकरण द्वारा व्यक्त होगा?

(x+1)/(y+1) = 4/5 x/(y+1) = 4/5 (x+1)/y = 4/5 x/y = 4/5

उत्तर:
व्याख्या: माना अंश x और हर y है। दोनों में 1 जोड़ने पर अंश (x+1) और हर (y+1) हो जाएगा।

Q18. y - 4 = 0 का आलेख कैसी रेखा होगी?

x-अक्ष के समांतर y-अक्ष के समांतर मूल बिंदु से जाती हुई इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: y = 4 एक ऐसी रेखा है जहाँ y की ऊंचाई फिक्स है। यह x-अक्ष (लेटी हुई लाइन) के समांतर (Parallel) होगी।

Q19. दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। समीकरण क्या होगा? (x = बड़ा, y = छोटा)

x + y = 18 x - y = 18 x = y - 18 x + 18 = y

उत्तर:
व्याख्या: 'अधिक' का मतलब है अंतर। बड़ा कोण (x) छोटे (y) से 18 ज्यादा है, यानी x - y = 18।

Q20. यदि 10y = 30 हो, तो 2y + 5 का मान क्या होगा?

10 11 12 15

उत्तर:
व्याख्या: 10y = 30, तो y = 3। अब मान रखें: 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11।

Q21. समीकरण युग्म 2x + 3y = 5 और 4x + 6y = 10 के कितने हल होंगे?

एक दो कोई नहीं अनगिनत

उत्तर:
व्याख्या: अनुपात देखें: 2/4 = 1/2, 3/6 = 1/2, 5/10 = 1/2। तीनों बराबर हैं, इसका मतलब रेखाएं एक के ऊपर एक हैं (संपाती), इसलिए अनगिनत हल।

Q22. यदि x = 1 और y = 2, समीकरण 3x + ay = 1 के हल हों, तो a का मान क्या होगा?

1 -1 2 -2

उत्तर:
व्याख्या: मान रखने पर: 3(1) + a(2) = 1 ⇒ 3 + 2a = 1 ⇒ 2a = -2 ⇒ a = -1।

Q23. संगत समीकरण युग्म का ग्राफ कैसा होता है?

केवल समांतर हमेशा संपाती प्रतिच्छेदी या संपाती इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: संगत (Consistent) का मतलब है कम से कम एक हल निकलना। यह तब होता है जब रेखाएं काटती हैं (प्रतिच्छेदी) या एक के ऊपर एक होती हैं (संपाती)।

Q24. वह समीकरण जिसका आलेख मूल बिंदु (0,0) से होकर गुजरता है, वह कौन सा है?

2x + 3y = 5 x + y = 10 y = 2x x = 4

उत्तर:
व्याख्या: अगर हम x=0 और y=0 रखें, तो सिर्फ y=2x (0=0) सही साबित होता है। बाकी में 0=5 या 0=10 गलत हो जाएगा।

Q25. यदि 2x + y = 7 और 3x + 2y = 12 हो, तो x + y का मान क्या होगा?

1 3 5 7

उत्तर:
व्याख्या: पहले x और y निकालें। हल करने पर x=2, y=3 आता है। तो x+y = 2+3 = 5।

Q26. k के किस मान के लिए समीकरण x + 2y = 3 और 3x + ky = 9 संपाती रेखाओं को दर्शाते हैं?

6 3 -6 5

उत्तर:
व्याख्या: संपाती (Overlapping) के लिए अनुपात बराबर चाहिए: 1/3 = 2/k। तिरछा गुणा: k = 6।

Q27. यदि 3x - 5y = 0 तथा 9x + 15y = 0 तो x और y के मान होंगे:

x=1, y=1 x=0, y=0 x=3, y=5 x=0, y=5

उत्तर:
व्याख्या: जब दोनों समीकरणों में अचर पद (Constant term) 0 हो, तो रेखाएं मूल बिंदु से गुजरती हैं। हल x=0, y=0 ही होगा।

Q28. समीकरण x + y = 6 और x = y के हल हैं:

(4, 2) (2, 4) (3, 3) (6, 0)

उत्तर:
व्याख्या: x = y है, तो x + x = 6 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3। तो y भी 3 होगा। (3, 3)।

Q29. 2x + 3y = 11 में यदि x = -2 हो, तो y का मान क्या होगा?

3 5 -5 15

उत्तर:
व्याख्या: 2(-2) + 3y = 11 ⇒ -4 + 3y = 11 ⇒ 3y = 15 ⇒ y = 5।

Q30. पिता की आयु (x) पुत्र की आयु (y) की तिगुनी है। इसे समीकरण में कैसे लिखेंगे?

x = y + 3 x = 3y y = 3x x + y = 3

उत्तर:
व्याख्या: पिता (x) बड़ा है, तो पुत्र (y) को 3 से गुणा करेंगे तब दोनों बराबर होंगे। इसलिए x = 3y।

Q31. यदि समीकरणों का अद्वितीय हल (Unique Solution) हो, तो रेखाएं कैसी होंगी?

समांतर संपाती प्रतिच्छेदी इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: 'अद्वितीय' का मतलब है सिर्फ एक हल। और सिर्फ एक हल तब होता है जब रेखाएं एक बिंदु पर काटती (प्रतिच्छेद करती) हैं।

Q32. समीकरण x + 2y - 4 = 0 और 2x + 4y - 12 = 0 के हलों की संख्या क्या है?

अनगिनत एक कोई हल नहीं दो

उत्तर:
व्याख्या: अनुपात निकालें: 1/2 = 2/4 ≠ -4/-12 (1/2 = 1/2 ≠ 1/3)। जब पहले दो बराबर हों और तीसरा नहीं, तो रेखाएं समांतर होती हैं, यानी 'कोई हल नहीं'।

Q33. एक संख्या दूसरी संख्या की दुगनी है और दोनों का योग 15 है। संख्याएं क्या होंगी?

5, 10 4, 8 6, 12 3, 6

उत्तर:
व्याख्या: विकल्प (a) देखें: 10, 5 का दुगना है। और 5 + 10 = 15 है। शर्त पूरी हो रही है।

Q34. 5 वर्ष पहले पिता की आयु (x) पुत्र की आयु (y) की 7 गुनी थी। समीकरण क्या होगा?

x - 5 = 7(y - 5) x = 7y x + 5 = 7(y + 5) x = 7y - 5

उत्तर:
व्याख्या: 5 साल पहले दोनों की उम्र 5 कम होगी: (x-5) और (y-5)। पिता 7 गुना था, तो (x-5) = 7(y-5)।

Q35. रैखिक समीकरण युग्म में 'a₁/a₂ ≠ b₁/b₂' शर्त किसकी है?

अविरोधी (अद्वितीय हल) विरोधी (कोई हल नहीं) आश्रित (अनंत हल) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जब पहले ही अनुपात बराबर न हों, तो रेखाएं एक-दूसरे को काट देती हैं। इसे 'अविरोधी' या 'अद्वितीय हल' कहते हैं।

Q36. 0.2x + 0.3y = 1.3 समीकरण को 10 से गुणा करने पर क्या प्राप्त होगा?

2x + 3y = 13 20x + 30y = 130 2x + 3y = 1.3 x + y = 13

उत्तर:
व्याख्या: दशमलव हटाने के लिए 10 से गुणा करते हैं। 0.2 × 10 = 2, 0.3 × 10 = 3, 1.3 × 10 = 13।

Q37. x + y = 14 और x - y = 4 को हल करने पर y का मान क्या होगा?

9 5 4 10

उत्तर:
व्याख्या: x = 9 (प्रश्न 16 से)। तो 9 + y = 14 ⇒ y = 5।

Q38. यदि दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म के आलेख प्रतिच्छेदी रेखाएं हों, तो हलों की संख्या है:

सिर्फ एक कोई नहीं अनगिनत दो

उत्तर:
व्याख्या: प्रतिच्छेदी रेखाएं केवल एक बिंदु पर मिलती हैं, इसलिए केवल एक हल होता है।

Q39. k के किस मान के लिए समीकरण निकाय x + 2y = 1 और 5x + ky = 7 का कोई हल नहीं होगा?

10 2 5 1

उत्तर:
व्याख्या: 'कोई हल नहीं' के लिए पहले दो अनुपात बराबर होने चाहिए: 1/5 = 2/k। तिरछा गुणा: k = 10।

Q40. समीकरण 3x + y = 10 में यदि y = 4 हो, तो x का मान क्या होगा?

1 2 3 4

उत्तर:
व्याख्या: 3x + 4 = 10 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2।

Q41. विरोधी समीकरण युग्म के कितने हल होते हैं?

एक अनगिनत शून्य (कोई नहीं) दो

उत्तर:
व्याख्या: विरोधी का मतलब है जो आपस में कभी नहीं मिलते (समांतर)। इसलिए उनका कोई हल नहीं होता।

Q42. x - y = 0 का आलेख कैसा होगा?

x-अक्ष के समांतर y-अक्ष के समांतर मूल बिंदु से जाती हुई इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: x - y = 0 का मतलब x = y है। यदि x=0 तो y=0। यह (0,0) से गुजरने वाली रेखा है।

Q43. दो संख्याओं का योग 26 है और उनका अंतर 10 है। संख्याएं क्या हैं?

18, 8 20, 6 16, 10 13, 13

उत्तर:
व्याख्या: विकल्प (a): 18 + 8 = 26 (योग सही), 18 - 8 = 10 (अंतर सही)।

Q44. यदि 2/x + 3/y = 13 और 5/x - 4/y = -2 हो, तो इसे रैखिक समीकरण बनाने के लिए क्या मानेंगे?

1/x = u, 1/y = v x = u, y = v √x = u, √y = v इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जब चर नीचे (हर में) होते हैं, तो उन्हें रैखिक बनाने के लिए 1/x को u और 1/y को v मान लेते हैं।

Q45. निम्नलिखित में कौन रैखिक समीकरण नहीं है?

x + y = 5 2x - 3y = 7 x² + y = 3 √2x + 3y = 0

उत्तर:
व्याख्या: रैखिक समीकरण में चर की घात 1 होनी चाहिए। विकल्प (c) में x² है (घात 2), इसलिए यह रैखिक नहीं है।

Q46. k के किस मान के लिए समीकरण kx - y = 2 और 6x - 2y = 3 का अद्वितीय हल होगा?

k = 3 k ≠ 3 k = 0 k ≠ 0

उत्तर:
व्याख्या: अद्वितीय हल के लिए अनुपात बराबर नहीं होना चाहिए: k/6 ≠ -1/-2 ⇒ k/6 ≠ 1/2 ⇒ k ≠ 3।

Q47. यदि x + 2y - 5 = 0 और ax + (a-b)y - 10 = 0 के अनगिनत हल हों, तो a और b का मान क्या होगा?

a=2, b=1 a=2, b=0 a=1, b=2 a=3, b=1

उत्तर:
व्याख्या: अनुपात बराबर होंगे: 1/a = -5/-10 = 1/2, तो a=2। फिर 2/(a-b) = 1/2 ⇒ a-b = 4। a=2 रखें, तो 2-b=4 ⇒ b=-2 (सही विकल्प नहीं दिया, निकटतम जांच: a=2, b=1 गलत)। सही लॉजिक: a=2, b=-2 होना चाहिए। दिए गए विकल्पों में सबसे सटीक 1/a = 2/(a-b) से a=2, b=1 फिट नहीं बैठता। सही विकल्प a=2 है।

Q48. समीकरण y = 0 किसका समीकरण है?

x-अक्ष का y-अक्ष का मूल बिंदु का इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: x-अक्ष पर हर जगह y की ऊंचाई 0 होती है। इसलिए y = 0, x-अक्ष का समीकरण है।

Q49. दो चरों x और y में रैखिक समीकरण का मानक रूप क्या है?

ax + by = c ax² + bx + c = 0 ax + by + c = 0 a + b = c

उत्तर:
व्याख्या: मानक रूप (Standard Form) हमेशा ax + by + c = 0 होता है, जहाँ a और b दोनों शून्य नहीं हो सकते।

Q50. यदि 2x + 3y = 12 और 3x - 2y = 5 हो, तो y का मान क्या होगा?

2 3 1 0

उत्तर:
व्याख्या: विलोपन विधि से: पहले को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा करके जोड़ने पर x=3 आता है। मान रखने पर 2(3)+3y=12 ⇒ 6+3y=12 ⇒ 3y=6 ⇒ y=2।

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