कक्षा 10 गणित अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ – नोट्स, प्रश्न उत्तर व MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

📌 पाठ परिचय (Introduction)

वास्तविक संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम रोज़मर्रा के जीवन में करते हैं।
जैसे 1, 2, 3 आदि प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 … पूर्णांक कहलाती हैं।
भिन्न संख्याएँ जैसे 1/2, 3/4, -5/7 आदि परिमेय संख्याएँ होती हैं, जबकि √2, √3, π जैसी संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ हैं।
इन सभी संख्याओं को संख्या रेखा पर दिखाया जा सकता है, इसलिए इन्हें मिलाकर वास्तविक संख्याएँ कहा जाता है।

हम इस अध्याय में क्या सीखेंगे?
1. यूक्लिड विभाजन प्रमेय (Euclid’s Division Lemma) से HCF निकालना।
2. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic) और उससे HCF, LCM निकालना।
3. सिद्ध करना कि √2, √3, √5 आदि क्यों अपरिमेय हैं।
4. परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार: कब सांत (Terminating) और कब असांत (Non-terminating, Repeating)।

1. संख्या पद्धति का पुनरावलोकन (Number System Review)

संख्याओं को उनके गुणों के आधार पर अलग-अलग समूहों में बाँटा गया है। आइए इन्हें सरल भाषा में देखते हैं।

1. प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers - N)

वे संख्याएँ जिनका उपयोग हम गिनती करने में करते हैं।
उदाहरण: 1, 2, 3, 4, 5…
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या: 1

2. पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers - W)

यदि प्राकृतिक संख्याओं में 0 (शून्य) को भी जोड़ दिया जाए, तो हमें पूर्ण संख्याएँ मिलती हैं।
उदाहरण: 0, 1, 2, 3, 4, 5…
सबसे छोटी पूर्ण संख्या: 0

3. पूर्णांक (Integers - Z)

सभी पूर्ण संख्याएँ और उनकी ऋणात्मक (Negative) संख्याएँ मिलकर पूर्णांक बनाती हैं।
समूह: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …
नोट: 0 न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

4. परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ (Rational and Irrational)

परिमेय संख्या (Rational Number): जिसे p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q ≠ 0 हो।
उदाहरण: 2/3, -5/7, 4, 0, 3.5 आदि।

अपरिमेय संख्या (Irrational Number): जिसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
उदाहरण: √2, √3, √5, π, 0.101001000… आदि।

परिमेय और अपरिमेय दोनों मिलकर वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) बनाते हैं।

2. परिमेय और अपरिमेय संख्याओं में अंतर

परिमेय संख्या (Rational)	अपरिमेय संख्या (Irrational)
जिसे p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ p, q पूर्णांक हों और q ≠ 0 हो।	जिसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सके।
दशमलव प्रसार सांत (Terminating) या असांत आवर्ती (Non-terminating, Repeating) होता है।	दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती (Non-terminating, Non-repeating) होता है।
उदाहरण: 1/2, 3/4, -5/2, 4, 0, 2.75	उदाहरण: √2, √3, π, 0.101001000…

3. वास्तविक संख्याएँ – यूक्लिड विभाजन प्रमेय, HCF-LCM, √2 की अपरिमेयता और दशमलव प्रसार

आइए यूक्लिड विभाजन प्रमेय, HCF एवं LCM निकालने की विधि, √2 की अपरिमेयता सिद्ध करने का तरीका तथा दशमलव प्रसार को सरल भाषा में समझते हैं।

1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से HCF निकालना (Euclid’s Division Lemma)

सिद्धांत: यह लंबी भाग विधि (Long Division) का ही एक रूप है। हम तब तक भाग देते रहते हैं जब तक शेषफल (Remainder) 0 न आ जाए।

🤔 लॉजिक क्या है?
दो संख्याओं का HCF वही होता है जो 'अंतिम भाजक' (Last Divisor) होता है, जिससे शेषफल 0 आता है। सूत्र: a = bq + r

उदाहरण: 135 और 225 का HCF

चरण 1: बड़ी संख्या को a और छोटी को b मानें। (a = 225, b = 135)
225 में 135 का भाग दें:
225 = 135 × 1 + 90 (शेषफल 90 है)

चरण 2: अब पिछला भाजक (135) 'a' बन जाएगा और शेषफल (90) 'b' बन जाएगा।
135 = 90 × 1 + 45 (शेषफल 45 है)

चरण 3: प्रक्रिया दोहराएँ। अब 90 और 45 को लें।
90 = 45 × 2 + 0 (शेषफल 0 आ गया!)

चूँकि अंतिम भाजक 45 है, इसलिए HCF = 45

2. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय – HCF और LCM

सिद्धांत: हर संख्या को उसके 'अभाज्य गुणनखंडों' (Prime Factors) में तोड़ा जा सकता है। इसी की मदद से हम HCF और LCM निकालते हैं।

🤔 याद रखने की ट्रिक:
🔸 HCF = उभयनिष्ठ (Common) गुणनखंड की सबसे छोटी घात।
🔸 LCM = सभी गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात।

उदाहरण: 6 और 20 का HCF और LCM

चरण 1: अभाज्य गुणनखंड करें
6 = 2¹ × 3¹
20 = 2 × 2 × 5 = 2² × 5¹

चरण 2: HCF निकालना
दोनों में कॉमन संख्या '2' है।
2 की छोटी घात क्या है? (2¹ या 2²?) → उत्तर: 2¹
HCF = 2

चरण 3: LCM निकालना
सभी संख्याएं (2, 3, 5) लें और उनकी बड़ी घात देखें।
2² × 3¹ × 5¹ = 4 × 3 × 5 = 60
LCM = 60

3. सिद्ध करें कि √2 एक अपरिमेय संख्या है

सिद्धांत: इसे "विरोधाभास विधि" (Method of Contradiction) कहते हैं। हम पहले मानते हैं कि यह परिमेय है, और अंत में साबित करते हैं कि हमारी सोच गलत थी।

🤔 मुख्य तर्क:
हम दिखाएंगे कि अंश (numerator) और हर (denominator) में 1 के अलावा भी कोई कॉमन नंबर (जैसे 2) आ रहा है, जो कि परिमेय संख्या के नियम के खिलाफ है।

चरण 1: माना √2 एक परिमेय संख्या है।
तो, √2 = a/b (जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं, b ≠ 0)

चरण 2: दोनों तरफ वर्ग (Square) करने पर
2 = a²/b² ⇒ 2b² = a²
इसका मतलब: 2, a² को विभाजित करता है। अतः 2, a को भी विभाजित करेगा। ...(कथन 1)

चरण 3: प्रतिस्थापन
माना a = 2c (जहाँ c कोई पूर्णांक है)
मान रखने पर: 2b² = (2c)²
2b² = 4c² ⇒ b² = 2c²
इसका मतलब: 2, b² को विभाजित करता है। अतः 2, b को भी विभाजित करेगा। ...(कथन 2)

निष्कर्ष:
कथन 1 और 2 से पता चलता है कि a और b दोनों 2 से कटते हैं। यह हमारी शुरुआत की बात (कि वे सह-अभाज्य हैं) का विरोध करता है।

अतः हमारी मान्यता गलत थी। √2 एक अपरिमेय संख्या है।

4. दशमलव प्रसार – सांत और असांत दशमलव

सिद्धांत: बिना भाग दिए चेक करने का जादुई तरीका। केवल हर (Denominator) को देखो।

🤔 लॉजिक क्या है?
हमारी गिनती 10 के आधार (Decimal System) पर है। 10 केवल 2 और 5 से बनता है (2 × 5 = 10)। अगर हर में 2 और 5 के अलावा कोई घुसपैठिया (जैसे 3, 7) आ जाए, तो भाग कभी खत्म नहीं होगा।

जाँचने के नियम:

हर (q) के गुणनखंड करें:

• ✅ सांत (Terminating): यदि गुणनखंड केवल 2 हैं, केवल 5 हैं, या दोनों (2 और 5) हैं। (रूप: 2ⁿ × 5ᵐ)
• ❌ असांत आवर्ती (Non-terminating): यदि 2 और 5 के साथ कोई और संख्या (3, 7, 11...) आ जाए।

उदाहरण:
1) 7/80: हर 80 = 2⁴ × 5¹ (सिर्फ 2 और 5 हैं) → सांत
2) 10/21: हर 21 = 3 × 7 (इसमें 2, 5 नहीं हैं, 3, 7 हैं) → असांत आवर्ती

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 🔍 3 अंक पक्के (Most Important): "सिद्ध करें कि √2, √3 या √5 एक अपरिमेय संख्या है।" यह प्रश्न बोर्ड परीक्षा में लगभग हर साल आता है। इसका स्टेप-बाय-स्टेप हल रट लें।
• 🔢 शांत/अशांत पहचानना: बिना भाग दिए दशमलव प्रसार बताने के लिए, हर (Denominator) के गुणनखंड देखें। यदि केवल 2ⁿ × 5ᵐ है, तो 'शांत' (Terminating) है। यदि इसके अलावा कोई और संख्या (जैसे 3, 7) है, तो 'अशांत आवर्ती' है।
• ⚠️ LCM × HCF नियम: सूत्र HCF × LCM = a × b केवल दो संख्याओं के लिए ही सही है। तीन संख्याओं (a, b, c) के लिए यह नियम काम नहीं करता।
• 💡 MCQ टिप: सबसे छोटी भाज्य संख्या 4 है और सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है। इनका गुणनफल 8, HCF 2 और LCM 4 होता है। यह अक्सर 1 नंबर में पूछा जाता है।

"वास्तविक संख्याएँ अध्याय से प्रमेय 1.3 (अपरिमेयता सिद्ध करना) सबसे महत्वपूर्ण है। इसे बिल्कुल न छोड़ें।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Self Test)

(नीचे दिए गए प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जाँचें)

Q1. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और 404 का HCF ज्ञात करें।

👁️ उत्तर देखें

हल:
96 = 2 × 48 = 2² × 24 = 2³ × 12 = 2⁴ × 6 = 2⁵ × 3
अर्थात 96 = 2⁵ × 3

404 = 4 × 101 = 2² × 101

HCF के लिए समान अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात लेते हैं।
यहाँ केवल 2 समान है, और उसकी सबसे छोटी घात 2² है।

अतः HCF = 2² = 4

Q2. सिद्ध करें कि 5 - √3 एक अपरिमेय संख्या है।

👁️ उत्तर देखें

हल (विरोधाभास विधि का विचार):
चरण 1. मान लेते हैं कि 5 - √3 एक परिमेय संख्या r है।
5 - √3 = r
चरण 2. अब √3 को अकेला करें:
√3 = 5 - r
चरण 3. यहाँ 5 और r दोनों परिमेय हैं, इसलिए 5 - r भी परिमेय होगा।
इसका अर्थ है √3 परिमेय है, जो कि गलत है क्योंकि √3 अपरिमेय संख्या है।

इसलिए हमारा मानना गलत था। अतः 5 - √3 अपरिमेय संख्या है।

Q3. संख्या 6ⁿ कभी शून्य (0) पर समाप्त नहीं हो सकती। क्यों?

👁️ उत्तर देखें

हल:
चरण 1. किसी भी संख्या के 0 पर समाप्त होने के लिए उसके गुणनखंड में 2 और 5 दोनों का होना ज़रूरी होता है (ताकि 10 बने)।
चरण 2. 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ है, अतः इसके अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 3 हैं, इसमें 5 नहीं है।
चरण 3. क्योंकि 5 नहीं है, इसलिए 2 × 5 = 10 बन ही नहीं सकता।

अतः 6ⁿ कभी भी 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।

Q4. जाँच कीजिए कि 0.375 एक परिमेय संख्या है या नहीं। यदि हाँ, तो इसे p/q के रूप में लिखिए।

👁️ उत्तर देखें

हल:
चरण 1. 0.375 का दशमलव प्रसार रुक जाता है, इसलिए यह सांत दशमलव है।
चरण 2. सांत दशमलव हमेशा परिमेय संख्या होती है।

0.375 = 375/1000
375/1000 = 3/8 (3 और 8 से सरल करके)

अतः 0.375 परिमेय संख्या है और इसे 3/8 के रूप में लिखा जा सकता है।

Q5. बिना भाग दिये जाँचें कि 13/40 का दशमलव प्रसार सांत होगा या असांत।

👁️ उत्तर देखें

हल:
हर (q) = 40
40 = 4 × 10 = 2² × (2 × 5) = 2³ × 5

यहाँ q के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हैं।
अतः 13/40 का दशमलव प्रसार सांत (Terminating) होगा।

Q6. यदि दो संख्याएँ 24 और 90 हैं और उनका HCF = 6 है, तो उनका LCM ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल:
हम जानते हैं:
HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या

6 × LCM = 24 × 90
6 × LCM = 2160
LCM = 2160 / 6 = 360

अतः LCM = 360

Q7. यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड 2² × 3 × 5² हैं, तो क्या यह संख्या 100 से विभाज्य होगी?

👁️ उत्तर देखें

हल:
100 = 10² = (2 × 5)² = 2² × 5²

दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखंड: 2² × 3 × 5²
इसमें 2² और 5² दोनों मौजूद हैं, इसलिए यह 100 से विभाज्य होगी।

अतः उत्तर: हाँ, यह संख्या 100 से विभाज्य होगी।

Q8. (दीर्घ) दिखाइए कि 7/15 का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

👁️ उत्तर देखें

हल:
हर (q) = 15
15 = 3 × 5

q के अभाज्य गुणनखंडों में 3 और 5 हैं, यानी 2 और 5 के अलावा 3 भी है।
नियम के अनुसार यदि हर के अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य संख्या हो तो दशमलव प्रसार असांत आवर्ती (Non-terminating, Repeating) होता है।

अतः 7/15 का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

Q9. (दीर्घ) यदि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 2³ × 3 × 5² × 7 है, तो इस संख्या के अंत में कितने शून्य (0) होंगे?

👁️ उत्तर देखें

हल:
किसी संख्या के अंत में जितने 0 होते हैं, उतने ही 10 उसके गुणनखंड में होते हैं।
और 10 = 2 × 5 होता है।

दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखंड: 2³ × 3 × 5² × 7
2 की घात 3 है, 5 की घात 2 है।
10 बनने के लिए एक 2 और एक 5 चाहिए, इस प्रकार 10 की अधिकतम संख्या जो बन सकती है वह 2 (कम घात) होगी।

अतः इस संख्या के अंत में 2 शून्य (0) होंगे।

Q10. (दीर्घ) मान लीजिए किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है। क्या हम हमेशा कह सकते हैं कि उसके हर (q) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हैं? कारण सहित उत्तर दीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल:
हाँ, यदि कोई परिमेय संख्या p/q (सरलतम रूप में) का दशमलव प्रसार सांत (Terminating) है, तो q के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 ही होते हैं।

कारण:
सांत दशमलव को हम 10, 100, 1000… जैसी संख्या के हर के साथ भिन्न में बदल सकते हैं, और 10, 100, 1000… सभी 2 और 5 के ही गुणनफल हैं, जैसे 10 = 2 × 5, 100 = 2² × 5² आदि।
इसलिए सरल रूप में हर (q) = 2ⁿ × 5ᵐ के रूप में ही होगा।

अतः कथन सही है।

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

⏳ 50:00

0 / 50

Q1. 156 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का घातांक क्या है?

1 2 3 4

उत्तर:
व्याख्या: 156 का गुणनखंड = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13। यहाँ 2 का घातांक 2 है।

Q2. निम्नलिखित में कौन अपरिमेय संख्या नहीं है?

2 + √3 5 - √3 √3 / √5 √12 / √3

उत्तर:
व्याख्या: √12 / √3 = √(12/3) = √4 = 2, जो एक परिमेय संख्या है।

Q3. 0.105 का p/q रूप (जहाँ q का रूप 2ⁿ × 5ᵐ हो) क्या है?

21 / (2³ × 5²) 17 / (2² × 5³) 21 / (2 × 5²) 21 / (2² × 5³)

उत्तर:
व्याख्या: 0.105 = 105/1000 = 21/200 = 21 / (8 × 25) = 21 / (2³ × 5²)।

Q4. यदि दो संख्याओं का HCF = 25 और LCM = 50 है, तो संख्याओं का गुणनफल क्या होगा?

1150 1250 1350 1450

उत्तर:
व्याख्या: दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM = 25 × 50 = 1250।

Q5. π (पाई) किस प्रकार की संख्या है?

परिमेय संख्या अपरिमेय संख्या पूर्णांक इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: π एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती होता है।

Q6. संख्या 2.131131113... किस प्रकार की संख्या है?

पूर्णांक परिमेय अपरिमेय प्राकृत

उत्तर:
व्याख्या: दशमलव प्रसार असांत और अनावर्ती (non-terminating, non-repeating) है, इसलिए यह अपरिमेय संख्या है।

Q7. सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का गुणनफल क्या होगा?

4 6 8 10

उत्तर:
व्याख्या: सबसे छोटी अभाज्य = 2, सबसे छोटी भाज्य = 4। गुणनफल = 2 × 4 = 8।

Q8. यदि a और b दो अभाज्य संख्याएँ हैं, तो उनका HCF क्या होगा?

a b 1 ab

उत्तर:
व्याख्या: दो अभाज्य संख्याओं में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता, अतः HCF = 1।

Q9. निम्न में से किसका दशमलव प्रसार सांत (Terminating) है?

7 / 88 13 / 210 15 / 1600 17 / 110

उत्तर:
व्याख्या: 1600 का अभाज्य गुणनखंड = 2⁶ × 5² है (केवल 2 और 5 हैं), इसलिए इसका प्रसार सांत होगा।

Q10. दो धन पूर्णांकों a और b के लिए, यदि a = x³y² और b = xy³ (जहाँ x, y अभाज्य हैं), तो HCF(a, b) क्या होगा?

xy xy² x³y³ x²y²

उत्तर:
व्याख्या: HCF में सबसे छोटी घात ली जाती है। x की छोटी घात 1 है और y की छोटी घात 2 है। HCF = xy²।

Q11. √3 एक _______ संख्या है।

परिमेय प्राकृत अपरिमेय इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जिन संख्याओं का पूर्ण वर्गमूल नहीं निकलता, वे अपरिमेय होती हैं।

Q12. 6, 8 और 22 का LCM और HCF का अनुपात क्या होगा?

132 : 1 2 : 264 264 : 1 1 : 132

उत्तर:
व्याख्या: LCM(6,8,22) = 264, HCF(6,8,22) = 2। अनुपात = 264 : 2 = 132 : 1।

Q13. 96 और 404 का HCF क्या है?

2 3 4 5

उत्तर:
व्याख्या: 96 = 2⁵ × 3, 404 = 2² × 101। उभयनिष्ठ गुणनखंड 2² = 4 है।

Q14. 0.3̄ (0.3 पर रेकरिंग) का परिमेय रूप क्या है?

3/10 1/3 3/100 1/2

उत्तर:
व्याख्या: x = 0.333..., 10x = 3.333..., घटाने पर 9x = 3 ⇒ x = 3/9 = 1/3।

Q15. यदि p एक धनात्मक पूर्णांक है, तो धनात्मक सम पूर्णांक का रूप क्या होगा?

2p p + 1 p 2p + 1

उत्तर:
व्याख्या: कोई भी पूर्णांक जो 2 से गुणा किया जाए (2p), वह हमेशा सम (Even) होता है।

Q16. 7 × 11 × 13 + 13 किस प्रकार की संख्या है?

अभाज्य संख्या भाज्य संख्या विषम अभाज्य संख्या इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: 13(7 × 11 + 1) = 13 × 78। यह संख्या 13 और 78 से विभाजित है, इसलिए यह भाज्य (Composite) है।

Q17. निम्नलिखित में कौन परिमेय संख्या है?

√49 + √64 √81 + √91 √91 + √51 √49 + √101

उत्तर:
व्याख्या: √49 = 7 और √64 = 8, 7 + 8 = 15, जो एक परिमेय संख्या है।

Q18. यदि 65 और 117 का HCF, 65m - 117 के रूप में है, तो m का मान क्या है?

1 2 3 4

उत्तर:
व्याख्या: HCF(65, 117) = 13। प्रश्न अनुसार, 65m - 117 = 13 ⇒ 65m = 130 ⇒ m = 2।

Q19. किसी पूर्णांक m के लिए, प्रत्येक विषम पूर्णांक किस रूप का होता है?

m m + 1 2m 2m + 1

उत्तर:
व्याख्या: 2m हमेशा सम होता है, उसमें 1 जोड़ने पर वह हमेशा विषम (2m + 1) हो जाता है।

Q20. 29 / 343 का दशमलव प्रसार कैसा है?

सांत असांत आवर्ती असांत अनावर्ती इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: हर (343) = 7³, इसमें 2 या 5 का गुणनखंड नहीं है, इसलिए यह असांत आवर्ती होगा।

Q21. निम्नलिखित में से कौन सह-अभाज्य (Co-prime) संख्याओं का युग्म है?

(14, 35) (18, 25) (13, 52) (21, 84)

उत्तर:
व्याख्या: 18 और 25 का उभयनिष्ठ गुणनखंड केवल 1 है, इसलिए ये सह-अभाज्य हैं। (अन्य में 7, 13, 21 कॉमन हैं)।

Q22. यदि n एक प्राकृत संख्या है, तो 6ⁿ - 5ⁿ का इकाई अंक क्या होगा?

1 5 6 0

उत्तर:
व्याख्या: 6 की किसी भी घात का अंत 6 से और 5 की घात का अंत 5 से होता है। 6 - 5 = 1।

Q23. 1440 में 2 का अधिकतम घातांक क्या है?

2 3 4 5

उत्तर:
व्याख्या: 1440 = 144 × 10 = 12² × 2 × 5 = (2²×3)² × 2 × 5 = 2⁴ × 3² × 2¹ × 5¹ = 2⁵ × 3² × 5¹। घात = 5।

Q24. 3.27̄ (27 पर बार) है:

एक पूर्णांक एक परिमेय संख्या एक प्राकृत संख्या एक अपरिमेय संख्या

उत्तर:
व्याख्या: जिस संख्या पर बार (recurring) होता है, वह p/q के रूप में लिखी जा सकती है, अतः वह परिमेय है।

Q25. दो क्रमिक सम संख्याओं का HCF क्या होता है?

1 2 3 4

उत्तर:
व्याख्या: उदाहरण के लिए 2 और 4, या 10 और 12। इनका HCF हमेशा 2 होता है।

Q26. यदि a = 2³ × 3 × 5 और b = 2⁴ × 5 × 7, तो LCM(a, b) होगा:

40 560 1680 1120

उत्तर:
व्याख्या: LCM में अधिकतम घात लेते हैं। LCM = 2⁴ × 3¹ × 5¹ × 7¹ = 16 × 3 × 5 × 7 = 1680।

Q27. 6/15 का दशमलव प्रसार होगा:

सांत असांत आवर्ती इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: पहले सरल करें: 6/15 = 2/5। हर में 5 है, इसलिए यह सांत (Terminating) है।

Q28. √5 + 3 किस प्रकार की संख्या है?

पूर्णांक परिमेय अपरिमेय इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योग हमेशा अपरिमेय होता है।

Q29. 1/√2 किस प्रकार की संख्या है?

अपरिमेय संख्या परिमेय संख्या सम संख्या विषम संख्या

उत्तर:
व्याख्या: परिमेय संख्या को अपरिमेय से भाग देने पर (शून्य को छोड़कर) परिणाम अपरिमेय होता है।

Q30. यदि HCF(a, b) = 1 है, तो a और b कैसी संख्याएँ कहलाती हैं?

भाज्य सम सह-अभाज्य विषम

उत्तर:
व्याख्या: सह-अभाज्य (Co-prime) संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) हमेशा 1 होता है।

Q31. 0.6 का p/q रूप क्या है?

3/5 6/5 2/5 6/100

उत्तर:
व्याख्या: 0.6 = 6/10 = 3/5। (ध्यान दें: यह बार वाला प्रश्न नहीं है, साधारण दशमलव है)।

Q32. निम्नलिखित में से कौन अभाज्य संख्या है?

91 213 41 501

उत्तर:
व्याख्या: 91 (13×7), 213 (3 से भाज्य), 501 (3 से भाज्य) भाज्य हैं। 41 केवल 1 और स्वयं से विभाजित होता है।

Q33. दो संख्याओं का गुणनफल 8670 है और उनका HCF 17 है, तो उनका LCM क्या होगा?

102 85 510 610

उत्तर:
व्याख्या: LCM = गुणनफल / HCF = 8670 / 17 = 510।

Q34. 45 तथा 60 का म०स० (HCF) क्या है?

45 3 1 15

उत्तर:
व्याख्या: 45 = 15×3, 60 = 15×4। दोनों में सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड 15 है।

Q35. एक अशून्य परिमेय और अपरिमेय संख्या का गुणनफल क्या होता है?

हमेशा परिमेय हमेशा अपरिमेय 1 परिमेय या अपरिमेय

उत्तर:
व्याख्या: जैसे 2 × √3 = 2√3 (अपरिमेय)। यह हमेशा अपरिमेय होता है।

Q36. 0.7̄ (7 पर बार) बराबर है:

7/9 7/10 7/90 7/99

उत्तर:
व्याख्या: एक अंक पर बार हो तो हर में एक बार 9 आता है। अतः 7/9।

Q37. संख्या 8ⁿ (जहाँ n एक प्राकृत संख्या है) का इकाई अंक 0 पर समाप्त हो सकता है?

हाँ नहीं कभी-कभी पता नहीं

उत्तर:
व्याख्या: 8 के गुणनखंड में 5 नहीं आता (2×2×2), और 0 पर समाप्त होने के लिए 2 और 5 दोनों चाहिए। अतः नहीं।

Q38. निम्नलिखित में कौन-सा भिन्न का दशमलव प्रसार सांत है?

11/700 91/2100 343/2³×5³×7³ 31/243

उत्तर:
व्याख्या: विकल्प (c) में 343 = 7³, जो नीचे के 7³ से कट जाएगा। बचेगा 1/(2³×5³), जो सांत है।

Q39. दो लगातार संख्याओं का HCF क्या होता है?

0 1 2 4

उत्तर:
व्याख्या: क्रमिक संख्याएँ (जैसे 4,5 या 15,16) हमेशा सह-अभाज्य होती हैं, HCF = 1।

Q40. वृत्ताकार पथ पर तीन धावक एक ही स्थान से दौड़ना शुरू करते हैं। एक चक्कर लगाने में क्रमशः 2 घंटे, 4 घंटे और 6 घंटे लगते हैं। तीनों पुनः मिलने में कितना समय लेंगे?

8 घंटे 6 घंटे 12 घंटे 24 घंटे

उत्तर:
व्याख्या: मिलने का समय = LCM(2, 4, 6) = 12 घंटे।

Q41. √2 है एक:

परिमेय संख्या अपरिमेय संख्या प्राकृत संख्या इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: √2 एक पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः यह अपरिमेय है।

Q42. x² - 5x + 4 = 0 में x का मान किस समुच्चय में होगा?

पूर्णांक भिन्न संख्या अपरिमेय संख्या वास्तविक नहीं

उत्तर:
व्याख्या: (x-4)(x-1)=0 ⇒ x=1, 4। ये दोनों पूर्णांक हैं।

Q43. 3√3 किस प्रकार की संख्या है?

परिमेय अपरिमेय पूर्णांक इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: √3 अपरिमेय है, इसलिए 3√3 भी अपरिमेय होगा।

Q44. यदि दो संख्याओं का HCF 15 और LCM 90 हो, तो संख्याओं का गुणनफल होगा:

135 90 1350 1250

उत्तर:
व्याख्या: गुणनफल = HCF × LCM = 15 × 90 = 1350।

Q45. निम्नलिखित में से कौन परिमेय संख्या है?

√7 √2 / √5 √3 / √7 √25 / √49

उत्तर:
व्याख्या: √25 = 5 और √49 = 7, अतः यह 5/7 है जो परिमेय है।

Q46. 0.13 का p/q रूप क्या है?

13/100 13/90 13/99 3/99

उत्तर:
व्याख्या: दो अंकों पर बार (13) है, इसलिए हर में दो 9 आएँगे। 13/99।

Q47. 18 तथा 72 का HCF क्या है?

18 72 9 2

उत्तर:
व्याख्या: 18 स्वयं 72 को विभाजित करता है (18×4 = 72), इसलिए HCF 18 होगा।

Q48. √18 + √50 का सरलतम मान क्या होगा?

8√2 5√2 3√2 2√2

उत्तर:
व्याख्या: √18 = 3√2 और √50 = 5√2। योग = 3√2 + 5√2 = 8√2।

Q49. यदि P और Q दो अभाज्य संख्याएँ हैं, तो √P + √Q होगी:

परिमेय अपरिमेय पूर्णांक प्राकृत

उत्तर:
व्याख्या: दो अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के वर्गमूलों का योग सदैव अपरिमेय होता है।

Q50. 5.2333... है:

एक पूर्णांक एक परिमेय संख्या एक अपरिमेय संख्या इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: यह असांत आवर्ती (repeating) दशमलव है, जिसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है, अतः यह परिमेय है।

🏆

📊 Test Result

0 / 50

Score: 0%

➡️ अगला अध्याय: बहुपद (Polynomials)

➡️ Class 10 Maths All Chapters