कक्षा 10 गणित अध्याय 2 बहुपद – नोट्स, प्रश्न उत्तर व MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 2 Polynomial Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

📌 पाठ परिचय (Introduction)

बहुपद (Polynomial) बीजगणित का एक बहुत ही मज़ेदार हिस्सा है। यह दो शब्दों से मिलकर बना है: 'बहु' (Poly) यानी बहुत और 'पद' (Nominals) यानी हिस्से या टुकड़े।

सरल भाषा में, चर (Variables जैसे x, y) और अचर (Constants जैसे 2, 5) के मिलने से जो समीकरण बनता है, उसे बहुपद कहते हैं, लेकिन एक शर्त है:
"चर (x) की घात (Power) हमेशा एक पूर्ण संख्या (Whole Number) होनी चाहिए।"
यानी घात 0, 1, 2, 3... हो सकती है, लेकिन ऋणात्मक (-1) या भिन्न (1/2) नहीं हो सकती।

हम इस अध्याय में क्या सीखेंगे?

• बहुपद की घात (Degree of Polynomial) पहचानना।
• शून्यक (Zeroes) क्या होते हैं और उन्हें कैसे निकालते हैं।
• शून्यकों और गुणांकों (Coefficients) के बीच जादुई रिश्ता।
• द्विघात बहुपद बनाना जब शून्यक दिए गए हों।

यह पाठ बहुत तार्किक (Logical) है और बोर्ड परीक्षा में अच्छे अंक दिलाता है।

1. बहुपद की घात और प्रकार (Degree & Types)

किसी बहुपद में 'x' की सबसे बड़ी घात (Highest Power) को ही उस बहुपद की घात कहते हैं। इसी आधार पर इनके नाम रखे गए हैं:

1. रैखिक बहुपद (Linear Polynomial)

जिसकी सबसे बड़ी घात 1 हो।
सामान्य रूप: ax + b
उदाहरण: 2x + 3, y - 4

2. द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial)

जिसकी सबसे बड़ी घात 2 हो। (सबसे महत्वपूर्ण)
सामान्य रूप: ax² + bx + c
उदाहरण: x² - 3x + 2, 4u² + 8u

3. त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial)

जिसकी सबसे बड़ी घात 3 हो।
सामान्य रूप: ax³ + bx² + cx + d
उदाहरण: x³ - 2x² + x + 1

2. बहुपद के शून्यक (Zeroes of Polynomials)

परिभाषा: 'x' का वह मान (Value), जिसे बहुपद में रखने पर पूरा बहुपद शून्य (0) बन जाए, उसे उस बहुपद का शून्यक (Zero) कहते हैं।

उदाहरण: मान लीजिए p(x) = x - 3 है।
अगर हम x = 3 रखें, तो p(3) = 3 - 3 = 0
अतः 3 इस बहुपद का शून्यक है।

ग्राफ वाली बात (Graphical Meaning):
किसी बहुपद का ग्राफ X-अक्ष (X-axis) को जितने बिंदुओं पर काटता है, उसके उतने ही शून्यक होते हैं।
- अगर 1 बार काटे → 1 शून्यक
- अगर 2 बार काटे → 2 शून्यक
- अगर न काटे → कोई शून्यक नहीं

3. शून्यकों और गुणांकों में संबंध (सबसे महत्वपूर्ण)

यह टॉपिक परीक्षा की जान है। हम द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial) के लिए संबंध देखेंगे।

माना कि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के दो शून्यक α (अल्फा) और β (बीटा) हैं। तो इनके बीच दो रिश्ते होते हैं:

रिश्ता 1: शून्यकों का योग (Sum)

α + β = -b / a

(अर्थात: -x का गुणांक / x² का गुणांक)

रिश्ता 2: शून्यकों का गुणनफल (Product)

αβ = c / a

(अर्थात: अचर पद / x² का गुणांक)

4. द्विघात बहुपद बनाना

अगर आपको प्रश्न में शून्यकों का योग और गुणनफल पहले से दिया हो, तो बहुपद कैसे बनाएँ?

सूत्र (Formula):

x² - (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल)

संक्षेप में: x² - (α + β)x + (αβ)

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 📈 ग्राफ (1 अंक): y = p(x) का ग्राफ X-अक्ष को जितनी बार काटता या छूता है, उस बहुपद के शून्यकों (Zeros) की संख्या उतनी ही होती है। Y-अक्ष को न गिनें।
• 🤝 शून्यक और गुणांक संबंध: द्विघात बहुपद (ax² + bx + c) के लिए ये दो सूत्र कंठस्थ कर लें:
  • शून्यकों का योग (α + β) = -b/a
  • शून्यकों का गुणनफल (αβ) = c/a
• 🛠️ बहुपद बनाना: यदि प्रश्न में 'शून्यकों का योग' (S) और 'गुणनफल' (P) सीधे दिया हो, तो यह सूत्र लगाएँ: k[x² - (S)x + (P)]।
• ⚠️ सावधान रहें: प्रश्न ध्यान से पढ़ें। कभी-कभी 'शून्यक' (α, β) दिए होते हैं, और कभी 'शून्यकों का योग' (α+β)। यदि केवल शून्यक दिए हों, तो पहले उनका योग और गुणा खुद निकालें।

"बहुपद में सबसे ज्यादा गलती '-b/a' वाले सूत्र में माइनस साइन लगाने में होती है। चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Self Test)

(नीचे दिए गए प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जाँचें - सभी प्रश्न चरण-दर-चरण हल किए गए हैं)

Q1. बहुपद 5x³ - 4x² + x - √2 की घात (Degree) ज्ञात करें।

👁️ उत्तर देखें

हल:
चरण 1: बहुपद में चर (x) की सभी घातों को देखें।
यहाँ पद हैं: 5x³ (घात 3), -4x² (घात 2), x (घात 1)।

चरण 2: सबसे बड़ी घात चुनें।
सबसे बड़ी घात = 3

उत्तर: 3 (यह एक त्रिघात बहुपद है)

Q2. यदि p(x) = x² - 3x + 2 है, तो p(1) का मान ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल:
चरण 1: जहाँ-जहाँ 'x' है, वहाँ '1' रखें।
p(1) = (1)² - 3(1) + 2

चरण 2: सरल करें।
p(1) = 1 - 3 + 2
p(1) = 3 - 3 = 0

उत्तर: 0 (चूँकि मान 0 आया है, इसलिए 1 इसका एक शून्यक भी है)

Q3. द्विघात बहुपद x² - 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल:
चरण 1: शून्यक निकालने के लिए बहुपद को 0 के बराबर रखें।
x² - 3 = 0

चरण 2: संख्या को दूसरी तरफ ले जाएँ।
x² = 3

चरण 3: दोनों तरफ वर्गमूल (Root) करें।
x = ±√3

उत्तर: शून्यक √3 और -√3 हैं।

Q4. यदि बहुपद 2x² + 5x - 12 के शून्यक α और β हैं, तो α + β का मान बताएँ।

👁️ उत्तर देखें

हल:
चरण 1: तुलना करें ax² + bx + c से।
यहाँ a = 2, b = 5, c = -12

चरण 2: सूत्र का प्रयोग करें।
शून्यकों का योग (α + β) = -b / a
= -(5) / 2

उत्तर: -5/2

Q5. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों का योग 4 तथा गुणनफल 1 है।

👁️ उत्तर देखें

हल:
दिया है: (α + β) = 4 और (αβ) = 1

चरण 1: सूत्र लिखें।
बहुपद = x² - (योग)x + (गुणनफल)

चरण 2: मान रखें।
= x² - (4)x + (1)
= x² - 4x + 1

उत्तर: x² - 4x + 1

Q6. बहुपद 4u² + 8u के शून्यक ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल:
चरण 1: बहुपद को 0 के बराबर रखें और कॉमन लें।
4u² + 8u = 0
4u(u + 2) = 0

चरण 2: अलग-अलग 0 के बराबर करें।
स्थिति 1: 4u = 0 ⇒ u = 0
स्थिति 2: u + 2 = 0 ⇒ u = -2

उत्तर: शून्यक 0 और -2 हैं।

Q7. जाँच कीजिए कि क्या -1 बहुपद x³ - 2x² - x + 2 का शून्यक है?

👁️ उत्तर देखें

हल:
चरण 1: x की जगह -1 रखें।
P(-1) = (-1)³ - 2(-1)² - (-1) + 2

चरण 2: चिन्हों का ध्यान रखकर हल करें।
= -1 - 2(1) + 1 + 2
= -1 - 2 + 1 + 2
= -3 + 3 = 0

उत्तर: हाँ, -1 इस बहुपद का एक शून्यक है क्योंकि मान 0 आया।

Q8. (दीर्घ) बहुपद x² - 2x - 8 के शून्यक ज्ञात करें और संबंध की सत्यता की जाँच करें।

👁️ उत्तर देखें

हल:
भाग A: शून्यक निकालना (Splitting middle term)
चरण 1: x² - 2x - 8 = 0
ऐसी संख्याएँ सोचें जिनका गुणा -8 हो और जोड़ -2 हो। (-4 और +2)
x² - 4x + 2x - 8 = 0
x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
शून्यक: x = 4, x = -2 (यानी α=4, β=-2)

भाग B: जाँच (a=1, b=-2, c=-8)
1. योग: α + β = 4 + (-2) = 2
सूत्र से: -b/a = -(-2)/1 = 2 (सही है)

2. गुणनफल: αβ = 4 × (-2) = -8
सूत्र से: c/a = -8/1 = -8 (सही है)

Q9. (दीर्घ) यदि बहुपद x² - 5 के शून्यक α और β हैं, तो α + β और αβ का मान लिखें।

👁️ उत्तर देखें

हल:
चरण 1: इसे मानक रूप (ax² + bx + c) में लिखें।
x² + 0x - 5 (यहाँ x वाला पद नहीं था, इसलिए 0x लिखा)
अतः a = 1, b = 0, c = -5

चरण 2: सूत्र लगाएँ।
- α + β = -b/a = -0/1 = 0
- αβ = c/a = -5/1 = -5

Q10. यदि α और β बहुपद 2x² + 3x - 6 के शून्यक हैं, तो α² + β² का मान ज्ञात करें।

👁️ उत्तर देखें

हल:
चरण 1: पहले α+β और αβ निकालें। (a=2, b=3, c=-6)
α + β = -3/2
αβ = -6/2 = -3

चरण 2: बीजगणित सूत्र (a+b)² = a² + b² + 2ab का प्रयोग करें।
α² + β² = (α + β)² - 2αβ

चरण 3: मान रखें।
= (-3/2)² - 2(-3)
= 9/4 + 6
= 9/4 + 24/4 (लघुत्तम 4 लिया)
= 33/4

उत्तर: 33/4

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

⏳ 50:00

0 / 50

Q1. एक रैखिक बहुपद के शून्यकों की संख्या कितनी होती है?

2 1 3 0

उत्तर:
व्याख्या: रैखिक बहुपद का मतलब है जिसकी घात 1 हो। जितनी घात होती है, उतने ही शून्यक होते हैं। इसलिए इसका 1 शून्यक होगा।

Q2. बहुपद x² - 11 के शून्यक निम्नलिखित में से कौन से हैं?

11, -11 √11, -11 √11, -√11 √11, √11

उत्तर:
व्याख्या: शून्यक निकालने के लिए x² - 11 = 0 रखेंगे। तो x² = 11 हो जाएगा। जब वर्ग हटाएंगे तो दूसरी तरफ रूट (√) लगेगा और साथ में प्लस-माइनस (±) भी। इसलिए x = √11 और -√11।

Q3. यदि α और β बहुपद x² - 2x + 5 के शून्यक हैं, तो (α + β) का मान क्या होगा?

5 -5 2 -2

उत्तर:
व्याख्या: शून्यकों का जोड़ (α + β) निकालने का सूत्र है: -b/a। यहाँ a=1, b=-2 है। तो -(-2)/1 = 2 होगा।

Q4. वह द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग -3 और गुणनफल 2 है।

x² + 3x + 2 x² - 3x + 2 x² + 3x - 2 x² - 3x - 2

उत्तर:
व्याख्या: इसका सीधा फॉर्मूला होता है: x² - (योग)x + (गुणनफल)। यहाँ योग -3 है, तो माइनस-माइनस प्लस हो जाएगा। यानी x² + 3x + 2।

Q5. बहुपद y³ - 2y² - √3y + 1/2 का घात कितना है?

1/2 2 3 0

उत्तर:
व्याख्या: किसी बहुपद में चर (y) की सबसे बड़ी पावर को ही घात कहते हैं। यहाँ सबसे बड़ी पावर 3 है।

Q6. एक द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक कितने शून्यक हो सकते हैं?

1 2 3 4

उत्तर:
व्याख्या: द्विघात का मतलब है जिसकी घात 2 हो। जितनी घात होती है, ज्यादा से ज्यादा उतने ही शून्यक हो सकते हैं। इसलिए 2 सही है।

Q7. यदि p(x) = x² - 3x - 4 हो, तो p(x) का एक शून्यक निम्नलिखित में से कौन है?

2 4 0 3

उत्तर:
व्याख्या: शून्यक वह मान होता है जिसे रखने पर उत्तर 0 आ जाए। अगर हम x की जगह 4 रखें, तो (4)² - 3(4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0 हो जाता है।

Q8. यदि बहुपद x² - 9x + a के शून्यकों का गुणनफल 8 है, तो 'a' का मान क्या होगा?

9 -9 8 -8

उत्तर:
व्याख्या: शून्यकों के गुणनफल का सूत्र c/a होता है। यहाँ c की जगह 'a' लिखा है और नीचे 1 है। तो a/1 = 8, यानी a = 8।

Q9. बहुपद 4x² - 4x + 1 के शून्यकों का योग क्या होगा?

1 -1 1/4 4

उत्तर:
व्याख्या: योग का सूत्र -b/a होता है। यहाँ b = -4 और a = 4 है। तो -(-4)/4 = 4/4 = 1।

Q10. त्रिघात बहुपद का सबसे व्यापक रूप (General Form) क्या है?

ax² + bx + c ax⁴ + bx³ + c ax³ + bx² + cx + d ax² + bx² + c

उत्तर:
व्याख्या: त्रिघात मतलब जिसकी सबसे बड़ी घात 3 हो। विकल्प (c) में सबसे बड़ी घात 3 है, यही सही रूप है।

Q11. निम्नलिखित में से कौन बहुपद नहीं है?

2/3 x + 1 2 - x² + √3x 1 / (x - 1) x³

उत्तर:
व्याख्या: अगर x (चर) बट्टा के नीचे (हर में) हो या x पर रूट लगा हो, तो वह बहुपद नहीं होता। विकल्प (c) में x नीचे है।

Q12. बहुपद x² - 3 के शून्यक क्या हैं?

3, -3 √3, -√3 √3, √3 3, 3

उत्तर:
व्याख्या: x² - 3 = 0 रखेंगे तो x² = 3 हो जाएगा। स्क्वायर हटेगा तो रूट लगेगा, यानी x = +√3 और -√3।

Q13. यदि α और β बहुपद f(x) = x² + x + 1 के शून्यक हों, तो 1/α + 1/β का मान क्या होगा?

1 -1 0 2

उत्तर:
व्याख्या: 1/α + 1/β को हल करने पर (α+β)/αβ आता है। योग -1 है और गुणनफल 1 है। तो -1/1 = -1 होगा।

Q14. बहुपद (x - 1)(x² - 2) के शून्यकों का योग कितना है?

0 2 1 3

उत्तर:
व्याख्या: पहले इसे गुणा करें: x³ - x² - 2x + 2। त्रिघात बहुपद में योग का सूत्र -(-x² का गुणांक) / (x³ का गुणांक) होता है। तो -(-1)/1 = 1।

Q15. यदि बहुपद x² + ax - b के शून्यक एक-दूसरे के उलटे (व्युत्क्रम) हों, तो b का मान क्या होगा?

1 -1 a 1/a

उत्तर:
व्याख्या: जब शून्यक एक-दूसरे के उलटे होते हैं, तो उनका गुणा हमेशा 1 आता है। यहाँ गुणनफल -b है। तो -b = 1, इसलिए b = -1।

Q16. बहुपद x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात करें।

-2, -5 2, 5 2, -5 -2, 5

उत्तर:
व्याख्या: हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणा 10 हो और जोड़ 7 हो। वे 5 और 2 हैं। गुणनखंड (x+5)(x+2) बनेंगे। शून्यक के लिए इनका चिन्ह बदल दें: -5 और -2।

Q17. यदि p(x) = x³ - 1 है, तो p(1) का मान क्या होगा?

1 0 2 -1

उत्तर:
व्याख्या: x की जगह 1 रख दें। तो (1)³ - 1 = 1 - 1 = 0 हो जाएगा।

Q18. बहुपद 5y² - 14y + 8 के शून्यकों का जोड़ क्या होगा?

5/14 14/5 8/5 -14/5

उत्तर:
व्याख्या: जोड़ का सूत्र -b/a होता है। यहाँ b = -14 है। तो -(-14)/5 = 14/5।

Q19. वह द्विघात बहुपद कौन सा है जिसके शून्यक 5 और -3 हैं?

x² - 2x - 15 x² - 2x + 15 x² + 2x - 15 x² + 2x + 15

उत्तर:
व्याख्या: पहले योग निकालें: 5 + (-3) = 2। फिर गुणनफल: 5 × (-3) = -15। सूत्र में रखें: x² - (योग)x + गुणनफल ⇒ x² - 2x - 15।

Q20. यदि बहुपद p(x) का एक गुणनखंड (x + 2) है, तो p(-2) का मान क्या होगा?

2 0 -2 4

उत्तर:
व्याख्या: अगर कोई चीज़ गुणनखंड होती है, तो उसे रखने पर शेषफल 0 आता है। इसलिए p(-2) हमेशा 0 होगा।

Q21. किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को 3 जगह काटता है। उसके कितने शून्यक होंगे?

1 2 3 0

उत्तर:
व्याख्या: ग्राफ x-अक्ष (पड़ी लाइन) को जितनी बार काटता है, उतने ही शून्यक होते हैं। 3 बार काटा है, तो 3 शून्यक होंगे।

Q22. भाग देने पर शेषफल r(x) का घात हमेशा भाजक g(x) के घात से कैसा होता है?

बड़ा बराबर छोटा शून्य

उत्तर:
व्याख्या: जैसे अंकों के भाग में शेष हमेशा भाजक से छोटा होता है, वैसे ही बहुपद में शेष की घात भाजक की घात से हमेशा छोटी होती है।

Q23. यदि बहुपद x² - kx + 8 के शून्यकों का योग 6 है, तो k का मान क्या है?

8 -6 6 -8

उत्तर:
व्याख्या: योग का सूत्र -(-k)/1 है, जो k के बराबर हुआ। प्रश्न में योग 6 दिया है, इसलिए k = 6।

Q24. त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के तीनों शून्यकों का गुणनफल क्या होता है?

-b/a c/a -d/a d/a

उत्तर:
व्याख्या: त्रिघात बहुपद में गुणनफल का सूत्र -d/a होता है। (योग -b/a, दो-दो का गुणा c/a, तीनों का गुणा -d/a)।

Q25. यदि α, β बहुपद x² - 3x + 5 के शून्यक हैं, तो α/β + β/α का मान क्या होगा?

5 -1/5 -5 1/5

उत्तर:
व्याख्या: इसे हल करने पर (α²+β²)/αβ आता है। योग=3, गुणा=5 है। मान रखने पर (3² - 2×5) / 5 = (9-10)/5 = -1/5।

Q26. बहुपद x² + 1/6 x - 2 के शून्यक ज्ञात करें।

-3, 4 -3/2, 4/3 -4/3, 3/2 इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: बट्टा हटाने के लिए पूरे समीकरण को 6 से गुणा करें: 6x² + x - 12। इसके गुणनखंड करने पर (2x+3) और (3x-4) मिलते हैं। शून्यक -3/2 और 4/3 होंगे।

Q27. यदि बहुपद x² + px - q के शून्यक बराबर हैं लेकिन उनका चिन्ह उल्टा है, तो p का मान क्या होगा?

1 -1 0 2

उत्तर:
व्याख्या: बराबर और उल्टे चिन्ह का मतलब है, जैसे 5 और -5। इनको जोड़ने पर 0 आता है। योग का सूत्र -p है। तो -p = 0 यानी p = 0।

Q28. निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक एक बहुपद है?

x² + 3√x √x + 1 x² + 4x + 4 x + 1/x

उत्तर:
व्याख्या: बहुपद में x की घात हमेशा पूरी संख्या (0, 1, 2...) होनी चाहिए, भिन्न या माइनस में नहीं। विकल्प (c) में सभी घात सही हैं।

Q29. यदि α, β बहुपद x² - px + q के शून्यक हैं, तो 1/α² + 1/β² का मान क्या होगा?

(p² - 2q) / q² (p² + 2q) / q² p² / q² q² / p²

उत्तर:
व्याख्या: इसे हल करने पर ऊपर (α+β)² - 2αβ और नीचे (αβ)² आता है। मान रखने पर (p² - 2q) / q² प्राप्त होता है।

Q30. द्विघात बहुपद का ग्राफ (आलेख) दिखने में कैसा होता है?

सीधी रेखा परवलय (यू-आकार जैसा) गोल वृत्त अंडाकार

उत्तर:
व्याख्या: द्विघात बहुपद का ग्राफ हमेशा "U" के आकार का होता है, जिसे गणित में 'परवलय' (Parabola) कहते हैं।

Q31. यदि (x - 1), बहुपद x² + x + k का एक गुणनखंड है, तो k का मान ज्ञात करें।

2 -2 1 -1

उत्तर:
व्याख्या: गुणनखंड (x-1) है, तो x=1 रखने पर उत्तर 0 आना चाहिए। 1² + 1 + k = 0 ⇒ 2 + k = 0 ⇒ k = -2।

Q32. बहुपद x² - 2 के लिए शून्यकों का गुणनफल क्या है?

2 -2 0 1

उत्तर:
व्याख्या: गुणनफल का सूत्र c/a होता है। यहाँ c = -2 और a = 1 है। तो -2/1 = -2।

Q33. वह द्विघात बहुपद कौन सा है जिसके शून्यक √3 और -√3 हैं?

x² + 3 x² - 3 x² - √3 x² + √3

उत्तर:
व्याख्या: सूत्र: (x - पहला शून्यक)(x - दूसरा शून्यक)। (x - √3)(x + √3) = x² - 3।

Q34. यदि α, β, γ त्रिघात बहुपद के शून्यक हैं, तो उनका योग (α + β + γ) क्या होगा?

b/a c/a -b/a -d/a

उत्तर:
व्याख्या: चाहे द्विघात हो या त्रिघात, मूलों का योग हमेशा -b/a ही होता है।

Q35. 2x² + 5x - 12 के शून्यक ज्ञात करें।

4, 3/2 -4, 3/2 -4, -3/2 4, -3/2

उत्तर:
व्याख्या: बीच के पद 5x को 8x - 3x में तोड़ें। कॉमन लेने पर (x+4)(2x-3) आता है। शून्यक -4 और 3/2 होंगे।

Q36. जिस बहुपद की घात 1 होती है, उसे क्या कहते हैं?

रैखिक बहुपद द्विघात बहुपद त्रिघात बहुपद शून्य बहुपद

उत्तर:
व्याख्या: घात 1 वाले बहुपद को 'रैखिक बहुपद' (Linear Polynomial) कहते हैं क्योंकि इसका ग्राफ एक सीधी रेखा (Line) होता है।

Q37. यदि बहुपद x³ - 3x² + x + 1 के शून्यक (a-b), a, (a+b) हों, तो a का मान क्या है?

1 -1 0 2

उत्तर:
व्याख्या: शून्यकों का योग = 3 है। तीनों को जोड़ने पर: (a-b) + a + (a+b) = 3a। तो 3a = 3, इसलिए a = 1।

Q38. यदि बहुपद x² - 9x + a में शून्यकों का गुणनफल 8 है, तो इसके शून्यक क्या हैं?

1, 8 -1, -8 2, 4 -2, -4

उत्तर:
व्याख्या: योग 9 है और गुणनफल 8 है। ऐसी संख्याएँ 1 और 8 ही हैं क्योंकि 1+8=9 और 1×8=8 होता है।

Q39. बहुपद 4x⁴ + 5 का घात कितना है?

3 4 5 0

उत्तर:
व्याख्या: बहुपद में सबसे बड़ी घात को देखा जाता है। यहाँ x के ऊपर 4 लिखा है, तो घात 4 है।

Q40. यदि x = 1, बहुपद x² + x + a का शून्यक है, तो a का मान क्या होगा?

-2 2 1 -1

उत्तर:
व्याख्या: x की जगह 1 रखने पर उत्तर 0 आना चाहिए। 1² + 1 + a = 0 ⇒ 2 + a = 0 ⇒ a = -2। (नोट: प्रश्न 40 का विकल्प सही कर दिया गया है)।

Q41. x² + 2x + 1 के शून्यक क्या हैं?

1, 1 -1, -1 1, -1 0, -2

उत्तर:
व्याख्या: यह (x+1)² का फार्मूला है। तो (x+1)=0 रखने पर x = -1 आता है। चूंकि घात 2 है, तो दोनों शून्यक -1, -1 होंगे।

Q42. बहुपद x² - 5 के शून्यकों का योग क्या होगा?

5 -5 0 √5

उत्तर:
व्याख्या: योग निकालने के लिए 'x' वाला पद चाहिए, जो यहाँ गायब है। इसका मतलब b = 0 है। तो योग = -0/1 = 0।

Q43. यदि α, β बहुपद 2x² + 3x - 6 के शून्यक हों, तो α² + β² का मान क्या होगा?

33/4 -33/4 9/4 12

उत्तर:
व्याख्या: योग = -3/2, गुणनफल = -3। सूत्र (α+β)² - 2αβ में रखने पर: (-3/2)² - 2(-3) = 9/4 + 6 = 33/4।

Q44. यदि बहुपद x² + ax + b के दोनों शून्यक बराबर हों, तो निम्नलिखित में से क्या सही है?

a² = 4b a² = b a = b b² = 4a

उत्तर:
व्याख्या: शून्यक बराबर होने पर विविक्तकर (D) शून्य होता है। यानी b² - 4ac = 0। यहाँ b की जगह a है और c की जगह b। तो a² - 4b = 0 ⇒ a² = 4b।

Q45. किस स्थिति में ग्राफ x-अक्ष को केवल छूता है (काटता नहीं)?

जब 2 अलग शून्यक हों जब दोनों शून्यक बराबर हों जब कोई शून्यक न हो इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जब दोनों शून्यक एक ही होते हैं (बराबर), तो ग्राफ x-अक्ष को पार नहीं करता, बस एक बिंदु पर छूकर निकल जाता है।

Q46. 3x - 5 का शून्यक क्या है?

3/5 5/3 -5/3 -3/5

उत्तर:
व्याख्या: 3x - 5 = 0 रखें। 5 को उधर ले जाएं तो 3x = 5। अब 3 को भाग में भेजें, तो x = 5/3।

Q47. यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक -2 और -3 हैं, तो वह बहुपद क्या होगा?

x² + 5x + 6 x² - 5x + 6 x² - 5x - 6 x² + 5x - 6

उत्तर:
व्याख्या: शॉर्टकट: (x+2) और (x+3) का गुणा कर दें। x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6।

Q48. घात n वाले बहुपद के ज्यादा से ज्यादा कितने शून्यक हो सकते हैं?

n - 1 n n + 1 2n

उत्तर:
व्याख्या: बहुपद की जितनी घात होती है (n), उसके अधिकतम उतने ही (n) शून्यक हो सकते हैं।

Q49. यदि α, β, γ त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यक हैं, तो (αβ + βγ + γα) का मान क्या होगा?

c/a -b/a d/a -c/a

उत्तर:
व्याख्या: इसे "दो-दो शून्यकों के गुणनफल का योग" कहते हैं। इसका सूत्र c/a होता है।

Q50. बहुपद y(2y + 3) की घात क्या है?

1 2 3 0

उत्तर:
व्याख्या: पहले गुणा करें: y को 2y से गुणा करने पर 2y² बनेगा। यहाँ सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए उत्तर 2 होगा।

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