कक्षा 10 गणित अध्याय 4 द्विघात समीकरण – नोट्स, प्रश्न उत्तर व MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 4 Quadratic Equations Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

द्विघात समीकरण क्या है? (Definition + Standard Form)

जिस समीकरण में चर (x) की सबसे बड़ी घात 2 हो, उसे द्विघात समीकरण कहते हैं।
मानक रूप (Standard Form): ax² + bx + c = 0
जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0

🤔 सबसे जरूरी बात
द्विघात समीकरण का “हल” (Solution) वही x के मान होते हैं जिन पर बायाँ पक्ष 0 बन जाए। इन्हीं हलों को Roots / शून्यक भी कहते हैं।

कौन-सा तरीका कब?
1. अगर बहुपद आसानी से दो भागों में टूट जाए → गुणनखंड विधि (Factorisation).
2. अगर नहीं टूटता और भिन्न/वर्गमूल आता है → सूत्र विधि (Quadratic Formula).
3. कॉन्सेप्ट मजबूत करने के लिए → पूर्ण वर्ग विधि (Completing Square).

गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण हल

इस विधि में हम ax² + bx + c को दो रैखिक गुणकों में तोड़ते हैं, जैसे (x - p)(x - q) = 0, फिर हर गुणक को 0 के बराबर रखकर x निकालते हैं।

🤔 लॉजिक क्या है?
यदि (A)(B) = 0, तो A = 0 या B = 0 (यही Zero Product Rule है)।

उदाहरण 1: x² - 5x + 6 = 0

चरण 1: ऐसे दो संख्या सोचें जिनका गुणनफल +6 हो और जोड़ -5 हो।
वे संख्या हैं: -2 और -3

चरण 2: बीच के पद को तोड़ें और समूह बनाएं।
x² - 2x - 3x + 6 = 0
x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
(x - 2)(x - 3) = 0

चरण 3: दोनों गुणकों को 0 के बराबर रखें।
x - 2 = 0 ⇒ x = 2
x - 3 = 0 ⇒ x = 3

अंतिम उत्तर: x = 2, x = 3

ध्यान रखें:
1. पहले समीकरण को 0 के बराबर जरूर करें।
2. गुणनखंड बनने के बाद ही “A = 0 या B = 0” लगाएं।

पूर्ण वर्ग विधि (Completing Square Method)

इस विधि में हम x² + bx वाले भाग को (x + k)² के रूप में बनाते हैं, ताकि √ लेकर x आसानी से निकल जाए।

🤔 लॉजिक क्या है?
(x + k)² = x² + 2kx + k² होता है।
इसलिए x² + bx को (x + b/2)² के पास लाने के लिए हम “(b/2)² जोड़ते और घटाते” हैं।

उदाहरण 2: x² + 4x + 1 = 0

चरण 1: स्थिर पद (constant) को दूसरी तरफ ले जाएँ।
x² + 4x = -1

चरण 2: x के गुणांक का आधा लें और उसका वर्ग जोड़ें।
4 का आधा = 2, और 2² = 4
x² + 4x + 4 = -1 + 4

चरण 3: बाएँ पक्ष को वर्ग बनाएं।
(x + 2)² = 3

चरण 4: दोनों तरफ वर्गमूल लें।
x + 2 = √3 या x + 2 = -√3

चरण 5: x निकालें।
x = -2 + √3 या x = -2 - √3

अंतिम उत्तर: x = -2 ± √3

द्विघात सूत्र (Quadratic Formula / Shreedharacharya)

जब गुणनखंड आसानी से न बनें, तब यह विधि सबसे भरोसेमंद है। बस a, b, c पहचानो और सूत्र में रखो।

महत्वपूर्ण सूत्र

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
जहाँ D = b² - 4ac को विवर्तक (Discriminant) कहते हैं।

उदाहरण 3: 2x² - 7x + 3 = 0

चरण 1: a, b, c पहचानें।
a = 2, b = -7, c = 3

चरण 2: D निकालें।
D = b² - 4ac = (-7)² - 4×2×3 = 49 - 24 = 25

चरण 3: सूत्र में रखें।
x = ( -(-7) ± √25 ) / (2×2)
x = ( 7 ± 5 ) / 4

चरण 4: दोनों मान निकालें।
x = (7 + 5)/4 = 12/4 = 3
x = (7 - 5)/4 = 2/4 = 1/2

अंतिम उत्तर: x = 3, x = 1/2

कॉमन गलती:
1. b के साथ चिन्ह (sign) गलत कर देते हैं, जैसे b = -7 है तो -b = 7 होगा।
2. √(b² - 4ac) में केवल b² का वर्ग होता है, पूरे (b² - 4ac) का वर्ग नहीं।

Discriminant (D) से मूलों की प्रकृति

D = b² - 4ac आपको पहले ही बता देता है कि हल कैसे होंगे।

नियम (Rules)
1. D > 0 ⇒ दो अलग-अलग वास्तविक मूल (Two distinct real roots).
2. D = 0 ⇒ दो समान वास्तविक मूल (Equal real roots).
3. D < 0 ⇒ कोई वास्तविक मूल नहीं (No real roots, imaginary roots).

छोटे उदाहरण

1. x² - 5x + 6 = 0 ⇒ D = 25 - 24 = 1 (D > 0) ⇒ दो अलग-अलग वास्तविक मूल।
2. x² - 6x + 9 = 0 ⇒ D = 36 - 36 = 0 (D = 0) ⇒ दोनों मूल बराबर।
3. x² + x + 1 = 0 ⇒ D = 1 - 4 = -3 (D < 0) ⇒ वास्तविक मूल नहीं।

मूल और गुणांकों का संबंध (Roots and Coefficients Relation)

यदि ax² + bx + c = 0 के मूल α और β हैं, तो:

महत्वपूर्ण सूत्र

α + β = -b/a
αβ = c/a

उदाहरण 4: 2x² - 7x + 3 = 0

चरण 1: a = 2, b = -7, c = 3
चरण 2: योग: α + β = -b/a = -(-7)/2 = 7/2
चरण 3: गुणनफल: αβ = c/a = 3/2

उत्तर: α + β = 7/2, αβ = 3/2

जब मूल दिए हों, तब समीकरण बनाना (Form Quadratic Equation When Roots Given)

यदि मूल α और β दिए हों, तो सबसे आसान तरीका:

फॉर्म (Monic Quadratic)

x² - (α + β)x + (αβ) = 0

उदाहरण 5: मूल 3 और 1/2

चरण 1: α + β = 3 + 1/2 = 7/2, αβ = 3×(1/2) = 3/2
चरण 2: x² - (7/2)x + (3/2) = 0
चरण 3: भिन्न हटाने के लिए 2 से गुणा करें।
2x² - 7x + 3 = 0

बना हुआ समीकरण: 2x² - 7x + 3 = 0

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 🔥 विविक्तकर (Discriminant): सबसे पहले D = b² - 4ac निकालें। यह मूलों की प्रकृति बताता है:
  • D > 0 : दो अलग वास्तविक मूल
  • D = 0 : दो बराबर वास्तविक मूल (Perfect Square)
  • D < 0 : कोई वास्तविक मूल नहीं (काल्पनिक)
• 🎯 'k' वाले प्रश्न: यदि प्रश्न कहे "मूल बराबर हैं", तो तुरंत b² - 4ac = 0 रखें और k का मान निकालें। यह बहुत महत्वपूर्ण है।
• 📝 द्विघाती सूत्र (Shreedharacharya): यदि गुणनखंड (Factorisation) आसानी से न हो रहे हों, तो समय बर्बाद न करें। सीधा सूत्र लगाएँ:
  x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a
• ⚠️ शब्द समस्याएँ (Word Problems): आयु, भिन्न, या चाल-दूरी वाले सवालों में अंतिम समीकरण द्विघात (Quadratic) बनेगा। ऋणात्मक (Negative) मानों को उत्तर में छोड़ दें (जैसे आयु या चाल कभी माइनस नहीं होती)।

"D (Discriminant) निकालना सीख लें, क्योंकि 1 नंबर का MCQ और 2 नंबर का 'मूलों की प्रकृति' वाला प्रश्न यहीं से आता है।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Class 10 Quadratic Equations Important Questions with Solutions) Self Test

(नीचे दिए गए प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जांचें)

Q1. (लघु) जाँच कीजिए कि क्या (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3) एक द्विघात समीकरण है या नहीं।

👁️ उत्तर देखें

हल:
चरण 1: पहले दोनों तरफ कोष्टक (Brackets) को गुणा करके खोलें।
बायाँ पक्ष (LHS): x(x+1) - 2(x+1) = x² + x - 2x - 2 = x² - x - 2
दायाँ पक्ष (RHS): x(x+3) - 1(x+3) = x² + 3x - x - 3 = x² + 2x - 3

चरण 2: अब समीकरण को एक साथ लिखें:
x² - x - 2 = x² + 2x - 3

चरण 3: सभी पदों को एक तरफ ले आएं:
x² - x² - x - 2x - 2 + 3 = 0
-3x + 1 = 0

निष्कर्ष: इसमें x² वाला पद कट गया है (अर्थात घात 2 नहीं बची)।
अतः यह द्विघात समीकरण नहीं है।

Q2. (लघु) गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण x² - 3x - 10 = 0 के मूल ज्ञात करें।

👁️ उत्तर देखें

हल:
सोच (Logic): हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणा करने पर -10 आए और जोड़ने/घटाने पर -3 आए।
वे संख्याएँ हैं: -5 और +2 (क्योंकि -5 × 2 = -10 और -5 + 2 = -3)।

चरण 1: बीच वाले पद को तोड़ें:
x² - 5x + 2x - 10 = 0

चरण 2: दो-दो के जोड़े बनाकर कॉमन (Common) लें:
x(x - 5) + 2(x - 5) = 0
(x - 5)(x + 2) = 0

चरण 3: दोनों को अलग-अलग 0 के बराबर रखें:
यदि x - 5 = 0 ⇒ x = 5
यदि x + 2 = 0 ⇒ x = -2

अतः मूल हैं: 5 और -2

Q3. (लघु) द्विघात समीकरण 2x² - 4x + 3 = 0 का विविक्तकर (Discriminant) ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल:
समीकरण की तुलना ax² + bx + c = 0 से करने पर:
a = 2, b = -4, c = 3

विविक्तकर (D) का सूत्र:
D = b² - 4ac

मान रखने पर:
D = (-4)² - 4(2)(3)
D = 16 - 24
D = -8

अतः विविक्तकर का मान -8 है।

Q4. (लघु) k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए द्विघात समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 के दोनों मूल बराबर हों।

👁️ उत्तर देखें

हल:
यहाँ a = 2, b = k, c = 3

नियम: जब मूल बराबर होते हैं, तो विविक्तकर (D) शून्य होता है।
अर्थात b² - 4ac = 0

मान रखने पर:
(k)² - 4(2)(3) = 0
k² - 24 = 0
k² = 24
k = √24

24 को हम 4 × 6 लिख सकते हैं, तो 4 का वर्गमूल 2 बाहर आ जाएगा।
अतः k = ±2√6

Q5. (लघु) द्विघात सूत्र (श्रीधराचार्य सूत्र) का उपयोग करके समीकरण 2x² - 7x + 3 = 0 को हल करें।

👁️ उत्तर देखें

हल:
a = 2, b = -7, c = 3
सूत्र: x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)

मान रखने पर:
x = (-(-7) ± √((-7)² - 4(2)(3)))/(2(2))
x = (7 ± √(49 - 24))/4
x = (7 ± √25)/4
x = (7 ± 5)/4

दो स्थितियाँ:
1. (+) लेने पर: x = (7+5)/4 = 12/4 = 3
2. (-) लेने पर: x = (7-5)/4 = 2/4 = 1/2

अतः मूल हैं: 3 और 1/2

Q6. (लघु) समीकरण 3x² - 2x + 1/3 = 0 के मूलों की प्रकृति (Nature of roots) ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल:
सबसे पहले समीकरण को सरल बनाने के लिए पूरे समीकरण को 3 से गुणा कर देते हैं:
9x² - 6x + 1 = 0
अब, a = 9, b = -6, c = 1

D = b² - 4ac
D = (-6)² - 4(9)(1)
D = 36 - 36
D = 0

निष्कर्ष: चूँकि D का मान 0 है, इसलिए मूल वास्तविक और समान (बराबर) होंगे।

Q7. (लघु) वह द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूलों का योग -3 और मूलों का गुणनफल 2 है।

👁️ उत्तर देखें

हल:
दिया है:
मूलों का योग (α + β) = -3
मूलों का गुणनफल (α × β) = 2

द्विघात समीकरण का सूत्र:
x² - (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0

मान रखने पर:
x² - (-3)x + 2 = 0
x² + 3x + 2 = 0

अतः अभीष्ट समीकरण x² + 3x + 2 = 0 है।

Q8. (दीर्घ) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक (Consecutive positive integers) ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 है।

👁️ उत्तर देखें

हल:
माना:
पहली संख्या = x
दूसरी लगातार संख्या = x + 1

प्रश्नानुसार:
दोनों के वर्गों का योग 365 है।
x² + (x + 1)² = 365

समीकरण हल करें:
x² + (x² + 1 + 2x) = 365 (सूत्र (a+b)² लगाया)
2x² + 2x + 1 - 365 = 0
2x² + 2x - 364 = 0
पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर:
x² + x - 182 = 0

गुणनखंड करें (14 और -13):
x² + 14x - 13x - 182 = 0
x(x + 14) - 13(x + 14) = 0
(x + 14)(x - 13) = 0

x = -14 (अमान्य, क्योंकि संख्या धनात्मक होनी चाहिए)
x = 13 (मान्य)

अतः पहली संख्या 13 और दूसरी संख्या (13+1) = 14 है।

Q9. (दीर्घ) एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लंब) इसके आधार से 7 सेमी कम है। यदि कर्ण 13 सेमी का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल:
माना:
आधार = x सेमी
ऊँचाई (लंब) = x - 7 सेमी (क्योंकि 7 कम है)
कर्ण = 13 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय से:
(आधार)² + (लंब)² = (कर्ण)²
x² + (x - 7)² = (13)²

हल करें:
x² + (x² + 49 - 14x) = 169
2x² - 14x + 49 - 169 = 0
2x² - 14x - 120 = 0
2 से भाग देने पर:
x² - 7x - 60 = 0

गुणनखंड (-12 और +5):
(x - 12)(x + 5) = 0

x = 12 या x = -5
भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x = 12।

अतः आधार = 12 सेमी और ऊँचाई = (12 - 7) = 5 सेमी।

Q10. (दीर्घ) एक रेलगाड़ी 360 किमी की दूरी एक समान चाल से तय करती है। यदि उसकी चाल 5 किमी/घंटा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल:
माना: रेलगाड़ी की सामान्य चाल = x किमी/घंटा
दूरी = 360 किमी

समय का सूत्र: समय = दूरी / चाल
सामान्य समय = 360/x
नई चाल = (x + 5) किमी/घंटा
नया समय = 360/(x + 5)

प्रश्न अनुसार: तेज चलने पर 1 घंटा कम लगता है।
(धीरे चलने वाला समय) - (तेज चलने वाला समय) = 1
360/x - 360/(x + 5) = 1

हल: 360 कॉमन लें और एलसीएम (LCM) निकालें:
360[1/x - 1/(x+5)] = 1
360[(x+5 - x)/(x(x+5))] = 1
360[5/(x² + 5x)] = 1
1800 = x² + 5x
x² + 5x - 1800 = 0

गुणनखंड (45 और -40):
x² + 45x - 40x - 1800 = 0
x(x + 45) - 40(x + 45) = 0
(x - 40)(x + 45) = 0

चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए x = -45 छोड़ देंगे।
अतः रेलगाड़ी की चाल = 40 किमी/घंटा है।

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

⏳ 50:00

0 / 50

Q1. निम्नलिखित में से कौन द्विघात समीकरण है?

x(x + 5) = x² + 2 x³ - x² = 0 (x + 1)² = 2(x - 3) x² + 1/x = 5

उत्तर:
व्याख्या: द्विघात समीकरण में सबसे बड़ी घात 2 होनी चाहिए। विकल्प (c) में (x+1)² = x²+2x+1 होता है, जिसमें x² बचता है। विकल्प (a) में x² कट जाएगा।

Q2. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विविक्तकर (Discriminant) क्या होता है?

b² - 4ac b² + 4ac 4ac - b² b - 4ac

उत्तर:
व्याख्या: विविक्तकर (D) का सूत्र b² - 4ac होता है। यह बताता है कि समीकरण के हल कैसे होंगे।

Q3. यदि द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान हों, तो विविक्तकर (D) का मान क्या होगा?

D > 0 D < 0 D = 0 इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जब D = 0 होता है, तो दोनों मूल (Answer) बिल्कुल एक जैसे होते हैं, जैसे 2 और 2।

Q4. समीकरण x² - 5x + 6 = 0 के मूल क्या हैं?

2, 3 -2, -3 1, 6 -1, -6

उत्तर:
व्याख्या: गुणा करने पर 6 और जोड़ने पर 5 चाहिए। 2 और 3 सही हैं (2×3=6, 2+3=5)। समीकरण में रखने पर (x-2)(x-3)=0, तो x=2, 3।

Q5. यदि समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 के मूल बराबर हों, तो k का मान क्या होगा?

± 2√6 ± 6 ± 4 ± 12

उत्तर:
व्याख्या: बराबर मूल के लिए D = 0 होना चाहिए। b² - 4ac = 0 ⇒ k² - 4(2)(3) = 0 ⇒ k² = 24 ⇒ k = ±√24 = ±2√6।

Q6. द्विघात सूत्र (Quadratic Formula) को और किस नाम से जाना जाता है?

पाइथागोरस सूत्र श्रीधराचार्य सूत्र यूक्लिड सूत्र थैल्स सूत्र

उत्तर:
व्याख्या: भारत के महान गणितज्ञ श्रीधराचार्य ने यह सूत्र दिया था, इसलिए इसे श्रीधराचार्य सूत्र कहते हैं।

Q7. समीकरण x² + x + 1 = 0 के मूलों की प्रकृति कैसी होगी?

वास्तविक और समान वास्तविक और असमान अवास्तविक (काल्पनिक) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: D निकालें: b² - 4ac = 1² - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3। जब D माइनस में आता है, तो मूल असली (वास्तविक) नहीं होते।

Q8. यदि समीकरण ax² + bx + c = 0 का एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम (Reciprocal) हो, तो क्या शर्त होगी?

a = b b = c a = c c = 0

उत्तर:
व्याख्या: मूल एक-दूसरे के उल्टे (जैसे 2 और 1/2) हों तो उनका गुणा 1 होता है। गुणनफल = c/a = 1 ⇒ c = a।

Q9. द्विघात समीकरण 2x² - 4x + 3 = 0 का विविक्तकर (Discriminant) क्या होगा?

-4 8 -8 40

उत्तर:
व्याख्या: D = b² - 4ac = (-4)² - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8।

Q10. x² = 9 का हल समुच्चय क्या है?

{3} {-3} {3, -3} {9}

उत्तर:
व्याख्या: जब वर्ग हटाते हैं तो रूट लगता है और प्लस-माइनस दोनों आते हैं। x = ±√9 = ±3।

Q11. द्विघात समीकरण के अधिकतम कितने मूल (Roots) हो सकते हैं?

1 2 3 अनगिनत

उत्तर:
व्याख्या: जितनी समीकरण की घात (Power) होती है, उतने ही मूल होते हैं। द्विघात में घात 2 होती है, इसलिए मूल भी 2 होंगे।

Q12. यदि x = 1, समीकरण x² + x + k = 0 का मूल हो, तो k का मान क्या होगा?

1 -1 2 -2

उत्तर:
व्याख्या: x की जगह 1 रखें: 1² + 1 + k = 0 ⇒ 2 + k = 0 ⇒ k = -2।

Q13. समीकरण (x - 2)² + 1 = 2x - 3 कैसा समीकरण है?

रैखिक द्विघात त्रिघात कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: इसे खोलने पर x² - 4x + 4 + 1 = 2x - 3 आएगा। इसमें x² मौजूद है और यही सबसे बड़ी घात है, इसलिए यह द्विघात है।

Q14. यदि समीकरण के मूल वास्तविक और असमान हों, तो D का मान कैसा होगा?

D = 0 D > 0 D < 0 D ≥ 0

उत्तर:
व्याख्या: जब D का मान 0 से बड़ा (Positive) होता है, तो दो अलग-अलग वास्तविक उत्तर मिलते हैं।

Q15. समीकरण x² - 4x + k = 0 का मूल समान होने के लिए k का मान क्या होगा?

4 16 2 8

उत्तर:
व्याख्या: समान मूल के लिए D = 0। b² - 4ac = 0 ⇒ (-4)² - 4(1)(k) = 0 ⇒ 16 - 4k = 0 ⇒ 4k = 16 ⇒ k = 4।

Q16. 3x² - 2x + 1/3 = 0 के विविक्तकर (Discriminant) का मान क्या है?

0 1/2 1 3

उत्तर:
व्याख्या: D = b² - 4ac = (-2)² - 4(3)(1/3) = 4 - 4 = 0।

Q17. द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का योग (Sum of roots) क्या होता है?

b/a -b/a c/a -c/a

उत्तर:
व्याख्या: मूलों का योग = - (x का गुणांक) / (x² का गुणांक) = -b/a।

Q18. समीकरण 2x² - 5x + 3 = 0 के मूल कैसे होंगे?

वास्तविक और समान वास्तविक और भिन्न अवास्तविक इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: D = (-5)² - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1। D > 0 है, इसलिए मूल वास्तविक और अलग-अलग (भिन्न) होंगे।

Q19. यदि द्विघात समीकरण के मूल 5 और -2 हैं, तो वह समीकरण क्या होगा?

x² - 3x - 10 = 0 x² + 3x - 10 = 0 x² - 3x + 10 = 0 x² + 3x + 10 = 0

उत्तर:
व्याख्या: योग = 5-2=3, गुणनफल = 5(-2)=-10। सूत्र: x² - (योग)x + (गुणनफल) = 0 ⇒ x² - 3x - 10 = 0।

Q20. x² + 2x + 1 = 0 के मूल क्या हैं?

1, 1 -1, -1 1, -1 0, -2

उत्तर:
व्याख्या: यह (x+1)² का सूत्र है। (x+1)² = 0 ⇒ x+1 = 0 ⇒ x = -1। दोनों मूल -1, -1 होंगे।

Q21. द्विघात समीकरण का मानक रूप (Standard Form) क्या है?

ax + b = 0 ax² + bx + c = 0 ax² = 0 ax³ + bx² + c = 0

उत्तर:
व्याख्या: द्विघात समीकरण हमेशा ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जाता है, जहाँ a कभी 0 नहीं हो सकता।

Q22. यदि (x + 2)(x - 2) = 5 हो, तो x का मान क्या होगा?

± 3 ± 5 ± 4 9

उत्तर:
व्याख्या: यह (a+b)(a-b) = a² - b² है। तो x² - 4 = 5 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3।

Q23. समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का गुणनफल क्या होता है?

b/a -b/a c/a -c/a

उत्तर:
व्याख्या: गुणनफल का सूत्र = (अचर पद) / (x² का गुणांक) = c/a।

Q24. वह द्विघात समीकरण जिसके मूल 3 और 3 हों, कौन सा है?

x² - 6x + 9 = 0 x² + 6x + 9 = 0 x² - 9 = 0 x² - 6x - 9 = 0

उत्तर:
व्याख्या: (x-3)(x-3) = 0 को गुणा करने पर x² - 6x + 9 = 0 आता है।

Q25. यदि समीकरण 3x² - 12x + m = 0 के मूल बराबर हैं, तो m का मान क्या है?

4 12 36 9

उत्तर:
व्याख्या: D = 0 ⇒ b² - 4ac = 0 ⇒ (-12)² - 4(3)(m) = 0 ⇒ 144 - 12m = 0 ⇒ 12m = 144 ⇒ m = 12।

Q26. द्विघात समीकरण x² + 5x + 6 = 0 का घात क्या है?

1 2 3 0

उत्तर:
व्याख्या: समीकरण में x की सबसे बड़ी पावर 2 है, इसलिए घात 2 है।

Q27. यदि b² - 4ac < 0 हो, तो समीकरण के मूल कैसे होंगे?

वास्तविक समान काल्पनिक (अवास्तविक) परिमेय

उत्तर:
व्याख्या: जब D का मान 0 से छोटा (माइनस में) होता है, तो मूल वास्तविक नहीं होते, बल्कि काल्पनिक होते हैं।

Q28. समीकरण 7x² - 12x + 18 = 0 के मूलों के योग और गुणनफल का अनुपात क्या होगा?

7 : 12 7 : 18 2 : 3 3 : 2

उत्तर:
व्याख्या: योग = 12/7, गुणनफल = 18/7। अनुपात = (12/7) : (18/7) = 12 : 18 = 2 : 3।

Q29. x² - px + q = 0 के मूल समान होने की शर्त क्या है?

p² = q p² = 4q p = 4q q² = 4p

उत्तर:
व्याख्या: समान मूल यानी D = 0। (-p)² - 4(1)(q) = 0 ⇒ p² - 4q = 0 ⇒ p² = 4q।

Q30. समीकरण x² - 2x + 1 = 0 का एक मूल क्या है?

1 -1 2 0

उत्तर:
व्याख्या: यह (x-1)² = 0 है। इसलिए x = 1।

Q31. यदि किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग 2 है, तो वह संख्या क्या है?

1 2 -1 0

उत्तर:
व्याख्या: x + 1/x = 2। अगर x=1 रखें, तो 1 + 1/1 = 2 सही होता है।

Q32. x² - 9x = 0 के हल क्या हैं?

0, 9 9, -9 0, -9 3, 3

उत्तर:
व्याख्या: x कॉमन लें: x(x - 9) = 0। या तो x = 0 या x - 9 = 0 ⇒ x = 9।

Q33. एक आयताकार खेत का क्षेत्रफल 60 मीटर² है। यदि लंबाई चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है, तो लंबाई कितनी होगी?

6 मीटर 10 मीटर 12 मीटर 15 मीटर

उत्तर:
व्याख्या: चौड़ाई x, लंबाई x+4। क्षेत्रफल x(x+4) = 60। 6×10 = 60 होता है। अगर चौड़ाई 6 है तो लंबाई 10 होगी।

Q34. समीकरण 4x² + 4x + 1 = 0 के मूलों का योग क्या होगा?

-1 1 1/4 -1/4

उत्तर:
व्याख्या: योग = -b/a = -4/4 = -1।

समीकरण √x = x − 2 का हल क्या है?

2 1 4 3

उत्तर:
व्याख्या: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर x² − 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1, 4 मिलता है, मूल समीकरण में रखने पर केवल x = 4 संतुष्ट करता है।

Q36. 3x² - 18x + 6 = 0 के मूलों का गुणनफल क्या है?

2 6 -2 -6

उत्तर:
व्याख्या: गुणनफल = c/a = 6/3 = 2।

Q37. द्विघात समीकरण बनाने के लिए सूत्र क्या है यदि मूल α और β हों?

x² - (α+β)x + αβ = 0 x² + (α+β)x + αβ = 0 x² - αβx + (α+β) = 0 इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: सही सूत्र होता है: x² - (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0।

Q38. x² - kx + 4 = 0 का कोई वास्तविक मूल न हो, इसके लिए k का मान क्या होगा?

k > 4 k < -4 -4 < k < 4 k = 4

उत्तर:
व्याख्या: वास्तविक मूल न होने के लिए D < 0 चाहिए। k² - 16 < 0 ⇒ k² < 16। इसका मतलब k का मान -4 और 4 के बीच होना चाहिए।

Q39. निम्नलिखित में कौन x² - 3x + 2 = 0 का एक हल है?

-1 2 -2 0

उत्तर:
व्याख्या: x = 2 रखने पर: (2)² - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0। यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

Q40. समीकरण y² + 3y - 18 = 0 के मूल क्या हैं?

-6, 3 6, -3 2, 9 -2, -9

उत्तर:
व्याख्या: (y+6)(y-3) = 0। तो y = -6 और y = 3।

Q41. यदि x² + 4x + k = 0 के मूल वास्तविक हों, तो k का मान क्या हो सकता है?

k ≤ 4 k ≥ 4 k = 5 k > 4

उत्तर:
व्याख्या: वास्तविक मूल के लिए D ≥ 0। (4)² - 4(1)(k) ≥ 0 ⇒ 16 - 4k ≥ 0 ⇒ 16 ≥ 4k ⇒ 4 ≥ k या k ≤ 4।

Q42. x² - 25 = 0 के मूल हैं:

5 5, -5 -5 25

उत्तर:
व्याख्या: x² = 25 ⇒ x = ±5।

Q43. पूर्ण वर्ग विधि से हल करने के लिए x² - 6x = 0 में क्या जोड़ना चाहिए?

3 6 9 36

उत्तर:
व्याख्या: x के गुणांक (6) का आधा (3) करें और उसका वर्ग (9) जोड़ें। x² - 6x + 9 = (x-3)² बन जाएगा।

Q44. यदि दो लगातार विषम संख्याओं का गुणनफल 143 है, तो वे संख्याएं क्या हैं?

9, 11 11, 13 13, 15 7, 9

उत्तर:
व्याख्या: 11 × 13 = 143 होता है।

Q45. ax² + c = 0 (जहाँ b = 0) के मूल कैसे होंगे?

समान और वास्तविक समान और विपरीत चिन्ह के कोई हल नहीं इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: ax² = -c ⇒ x = ±√(-c/a)। परिमाण बराबर होगा लेकिन एक प्लस होगा और एक माइनस (विपरीत चिन्ह)।

Q46. समीकरण 100x² - 20x + 1 = 0 का एक मूल क्या है?

1/10 1/20 10 -1/10

उत्तर:
व्याख्या: यह (10x - 1)² = 0 है। तो 10x = 1 ⇒ x = 1/10।

Q47. यदि x² + 1 = 0 हो, तो x का मान क्या होगा?

1 -1 0 कोई वास्तविक मान नहीं

उत्तर:
व्याख्या: x² = -1। किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग माइनस में नहीं हो सकता।

Q48. द्विघात समीकरण के आलेख को क्या कहते हैं?

अतिपरवलय परवलय (Parabola) वृत्त दीर्घवृत्त

उत्तर:
व्याख्या: द्विघात समीकरण का ग्राफ 'U' आकार का होता है जिसे परवलय कहते हैं।

Q49. यदि किसी संख्या का वर्ग उसके 5 गुने से 6 कम है, तो समीकरण क्या बनेगा?

x² = 5x - 6 x² = 5x + 6 x² - 5x = 6 x² + 6 = 5x

उत्तर:
व्याख्या: संख्या का वर्ग (x²) बराबर है 5 गुने (5x) से 6 कम (-6) के। यानी x² = 5x - 6।

Q50. समीकरण x² - 8x + 16 = 0 के मूल कैसे हैं?

वास्तविक और भिन्न वास्तविक और समान काल्पनिक इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: D = (-8)² - 4(1)(16) = 64 - 64 = 0। D शून्य है, इसलिए मूल समान होंगे।

🏆

📊 Test Result

0 / 50

Score: 0%

➡️ अगला अध्याय - 5: समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions) Notes, QA & MCQ Test

➡️ Class 10 Maths All Chapters