कक्षा 10 गणित अध्याय 5 समांतर श्रेढ़ियाँ – नोट्स, प्रश्न उत्तर, MCQ टेस्ट

कक्षा 10 गणित अध्याय 5 समांतर श्रेढ़िय – नोट्स, प्रश्न उत्तर व MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 5 Arithmetic Progressions Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

समांतर श्रेढ़ी (AP) क्या है?

संख्याओं की ऐसी सूची जिसमें हर अगला पद (Term) पिछले पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने पर मिलता है।
इस निश्चित संख्या को सार्व अंतर (Common Difference - d) कहते हैं।

🤔 पहचान कैसे करें?
बस बाद वाले पद में से पहले वाले पद को घटाएं (a₂ - a₁). अगर हर बार अंतर समान आए, तो वह AP है।
उदाहरण: 2, 4, 6, 8... (अंतर 2 है → AP है)
उदाहरण: 2, 4, 8, 16... (अंतर 2, फिर 4 है → AP नहीं है)

मुख्य संकेत (Symbols):
- a = प्रथम पद (First Term)
- d = सार्व अंतर (Common Difference)
- n = पदों की संख्या (Number of Terms)
- aₙ = nवां पद (nth Term)
- Sₙ = n पदों का योग (Sum of n Terms)

nवां पद ज्ञात करना (aₙ)

अगर आपको किसी AP का 10वां, 50वां या 100वां पद निकालना हो, तो पूरी गिनती लिखने की जरूरत नहीं है। बस यह सूत्र लगाएँ:

सूत्र (Formula)

aₙ = a + (n - 1)d

🤔 लॉजिक बॉक्स: (n-1) क्यों?
पहला पद तो a ही होता है (उसमें d नहीं जुड़ता)।
दूसरा पद a + 1d है।
तीसरा पद a + 2d है।
मतलब, जितना पद का नंबर होता है, d उससे एक कम बार जुड़ता है। इसलिए (n-1)।

उदाहरण 1: AP: 2, 7, 12, 17... का 10वां पद निकालें।

चरण 1: मान पहचानें।
a = 2
d = 7 - 2 = 5
n = 10 (क्योंकि 10वां पद चाहिए)

चरण 2: सूत्र में रखें।
a₁₀ = 2 + (10 - 1) × 5
a₁₀ = 2 + 9 × 5
a₁₀ = 2 + 45

अंतिम उत्तर: a₁₀ = 47

पदों की संख्या (n) ज्ञात करना

कभी-कभी हमें पता होता है कि आखिरी पद कौन सा है, लेकिन यह नहीं पता होता कि वह कौन से नंबर पर है।

उदाहरण 2: AP: 21, 18, 15... का कौन सा पद -81 है?

चरण 1: मान पहचानें।
a = 21
d = 18 - 21 = -3 (ध्यान दें: d ऋणात्मक है)
aₙ = -81 (यह हमारा अंतिम लक्ष्य है)
n = ? (यह निकालना है)

चरण 2: सूत्र का प्रयोग करें और समीकरण हल करें।
aₙ = a + (n - 1)d
-81 = 21 + (n - 1)(-3)

चरण 3: पक्षांतरण (Transposition) करें।
-81 - 21 = (n - 1)(-3)
-102 = (n - 1)(-3)

चरण 4: भाग दें और n निकालें।
-102 / -3 = n - 1
34 = n - 1
n = 34 + 1

अंतिम उत्तर: 35वां पद

n पदों का योग (Sₙ) ज्ञात करना

अगर आपको 1 से 100 तक जोड़ना हो, या किसी AP के 20 पदों का जोड़ निकालना हो, तो यह जादुई सूत्र काम आता है।

मुख्य सूत्र (Main Formula)
Sₙ = n/2 [2a + (n - 1)d]

छोटा सूत्र (जब अंतिम पद 'l' पता हो)
Sₙ = n/2 (a + l)

🤔 लॉजिक बॉक्स: गाउस की कहानी
महान गणितज्ञ गाउस ने बचपन में खोजा था कि अगर आप पहली और आखिरी संख्या को जोड़ें (a+l), और उसे कुल जोड़ों की संख्या (n/2) से गुणा कर दें, तो कुल योग आ जाता है।

उदाहरण 3: AP: 8, 3, -2... के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात करें।

चरण 1: मान पहचानें।
a = 8
d = 3 - 8 = -5
n = 22

चरण 2: बड़े सूत्र का प्रयोग (क्योंकि अंतिम पद नहीं पता)।
S₂₂ = 22/2 [2(8) + (22 - 1)(-5)]
S₂₂ = 11 [16 + 21(-5)]
S₂₂ = 11 [16 - 105]
S₂₂ = 11 [-89]

अंतिम उत्तर: S₂₂ = -979

शब्द समस्याएं (Word Problems)

AP का उपयोग दैनिक जीवन में बहुत होता है, जैसे वेतन वृद्धि, बचत, या सीटों की व्यवस्था।

उदाहरण 4: फूलों की क्यारी

एक क्यारी की पहली पंक्ति में 23 गुलाब के पौधे हैं, दूसरी में 21, तीसरी में 19, इत्यादि। अंतिम पंक्ति में 5 पौधे हैं। कुल कितनी पंक्तियाँ हैं?

चरण 1: इसे AP के रूप में लिखें।
23, 21, 19, ..., 5
यहाँ a = 23, d = 21 - 23 = -2, aₙ = 5 है।

चरण 2: n ज्ञात करना है।
aₙ = a + (n - 1)d
5 = 23 + (n - 1)(-2)
5 - 23 = (n - 1)(-2)
-18 = (n - 1)(-2)
-18 / -2 = n - 1
9 = n - 1 ⇒ n = 10

अंतिम उत्तर: कुल 10 पंक्तियाँ हैं।

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 🔢 n और aₙ में अंतर: छात्र अक्सर इसमें भ्रमित होते हैं।
  • n: पद की स्थिति (Position) या रोल नंबर है (यह हमेशा धनात्मक पूर्णांक होगा, कभी भिन्न नहीं)।
  • aₙ: उस स्थिति पर लिखी हुई संख्या (Value) है।
• ⚠️ सार्व अंतर (d): d निकालते समय हमेशा (दूसरा पद - पहला पद) करें, यानी (a₂ - a₁)। कभी भी बड़े में से छोटा न घटाएं, क्योंकि d ऋणात्मक (-) भी हो सकता है।
• 🔚 अंत से nवां पद: यदि प्रश्न पूछे "अंतिम पद से 10वां पद ज्ञात करें", तो पूरी AP पलटने की जगह सीधा यह शॉर्टकट सूत्र लगाएँ: l - (n - 1)d। (यहाँ l अंतिम पद है)।
• ➕ योग (Sum) वाले प्रश्न: यदि अंतिम पद (l) दिया हो, तो बड़े सूत्र की जगह छोटा सूत्र Sₙ = n/2 (a + l) प्रयोग करें। इससे समय बचता है।

"शब्द समस्याओं (Word Problems) में पहचानें: यदि 'कुल' पूछा है तो Sₙ निकालें, यदि 'कौन सा पद' पूछा है तो n निकालें।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Self Test)

(नीचे दिए गए प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जांचें)

Q1. (लघु) A.P. 2, 7, 12, ... का 10वाँ पद ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. सबसे पहले A.P. के पहले दो पदों को देखिए:
पहला पद a = 2
दूसरा पद = 7

2. सार्व अंतर (d) निकालिए:
d = दूसरा पद - पहला पद
d = 7 - 2 = 5
यानी हर बार अगला पद पिछले से 5 ज्यादा है।

3. हमें 10वाँ पद (a10) निकालना है।
सामान्य पद का सूत्र:
an = a + (n - 1)d

4. यहाँ n = 10 है, इसलिए:
a10 = a + (10 - 1)d
a10 = 2 + 9 × 5

5. अब गुणा कीजिए:
9 × 5 = 45
इसलिए:
a10 = 2 + 45
a10 = 47

निष्कर्ष:
दी गई समांतर श्रेढ़ी का 10वाँ पद 47 है।

Q2. (लघु) क्या संख्याओं की सूची 5, 11, 17, 23, ... एक समांतर श्रेढ़ी (A.P.) है? कारण दीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. समांतर श्रेढ़ी होने की शर्त:
हर दो लगातार (एक के बाद एक) पदों के बीच का अंतर समान होना चाहिए।

2. पहला अंतर निकालें:
d1 = 11 - 5 = 6

3. दूसरा अंतर निकालें:
d2 = 17 - 11 = 6

4. तीसरा अंतर निकालें:
d3 = 23 - 17 = 6

5. अब देखिए:
d1 = d2 = d3 = 6
यानी हर जगह अंतर 6 ही मिला।

निष्कर्ष:
क्योंकि हर दो पदों के बीच का अंतर समान (6) है, इसलिए 5, 11, 17, 23, ... एक समांतर श्रेढ़ी (A.P.) है।

Q3. (लघु) समांतर श्रेढ़ी 21, 18, 15, ... का कौन-सा पद -81 है?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. पहले पद और सार्व अंतर पहचानें:
पहला पद a = 21
दूसरा पद = 18
इसलिए d = 18 - 21 = -3
यानी हर बार 3 घट रहा है।

2. मान लेते हैं कि -81 इस A.P. का nवाँ पद है:
an = -81

3. सामान्य पद का सूत्र:
an = a + (n - 1)d
-81 = 21 + (n - 1)(-3)

4. अब हल करें:
-81 = 21 - 3(n - 1)
पहले 21 को दूसरी तरफ ले जाएँ:
-81 - 21 = -3(n - 1)
-102 = -3(n - 1)

5. दोनों तरफ -3 से भाग दें:
-102 / -3 = n - 1
34 = n - 1
n = 34 + 1
n = 35

निष्कर्ष:
इस A.P. का 35वाँ पद -81 है।

Q4. (लघु) उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. दिया है:
a11 = 38
a16 = 73

2. सामान्य पद के सूत्र से लिखें:
a11 = a + 10d = 38 ...(1)
a16 = a + 15d = 73 ...(2)

3. अब (2) में से (1) घटाएँ, ताकि a हट जाए:
(a + 15d) - (a + 10d) = 73 - 38
a + 15d - a - 10d = 35
5d = 35
d = 35 / 5 = 7

4. अब d = 7 को समीकरण (1) में रखें:
a + 10 × 7 = 38
a + 70 = 38
a = 38 - 70
a = -32

5. अब 31वाँ पद निकालें:
a31 = a + 30d
a31 = -32 + 30 × 7
a31 = -32 + 210
a31 = 178

निष्कर्ष:
उस A.P. का 31वाँ पद 178 है।

Q5. (लघु) दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक होती हैं。

2. अब 3 से विभाज्य (कटने वाली) सबसे छोटी दो अंकों की संख्या खोजें:
3 का पहाड़ा देखें:
3 × 4 = 12
इसलिए पहली संख्या 12 होगी।

3. सबसे बड़ी दो अंकों की संख्या जो 3 से कटती है:
3 × 33 = 99
इसलिए आख़िरी संख्या 99 है।

4. अब 12, 15, 18, ..., 99 एक A.P. बनाती है।
पहला पद a = 12
सार्व अंतर d = 3
अंतिम पद an = 99

5. सूत्र:
an = a + (n - 1)d
99 = 12 + (n - 1)3

6. हल करें:
99 - 12 = 3(n - 1)
87 = 3(n - 1)
87 / 3 = n - 1
29 = n - 1
n = 30

निष्कर्ष:
दो अंकों की कुल 30 संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं。

Q6. (लघु) A.P. 8, 3, -2, ... के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. पहले a और d निकालें:
पहला पद a = 8
दूसरा पद = 3
d = 3 - 8 = -5
यानी हर बार 5 घट रहा है।

2. हमें n = 22 पदों का योग S22 निकालना है。
सूत्र:
Sn = n/2 [2a + (n - 1)d]

3. मान रखिए:
S22 = 22/2 [2 × 8 + (22 - 1)(-5)]
S22 = 11 [16 + 21 × (-5)]

4. 21 × (-5) = -105
इसलिए:
S22 = 11 [16 - 105]
= 11 × (-89)

5. अब गुणा करें:
11 × (-89) = -979

निष्कर्ष:
इस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग -979 है。

Q7. (लघु) यदि किसी A.P. के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है और इसका प्रथम पद 10 है, तो 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. दिया है:
S14 = 1050
n = 14
पहला पद a = 10

2. योग का सूत्र:
Sn = n/2 [2a + (n - 1)d]
1050 = 14/2 [2 × 10 + (14 - 1)d]
1050 = 7 [20 + 13d]

3. अब 7 से भाग दें:
1050 / 7 = 20 + 13d
150 = 20 + 13d

4. 20 को दूसरी तरफ ले जाएँ:
150 - 20 = 13d
130 = 13d
d = 130 / 13 = 10

5. अब 20वाँ पद a20 निकालें:
a20 = a + 19d
a20 = 10 + 19 × 10
a20 = 10 + 190
a20 = 200

निष्कर्ष:
इस A.P. का 20वाँ पद 200 है。

Q8. (दीर्घ) एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. दिया है:
कुल पद n = 50
तीसरा पद a3 = 12
अंतिम (50वाँ) पद a50 = 106

2. सामान्य पद के सूत्र से समीकरण बनाते हैं:
a3 = a + 2d = 12 ...(1)
a50 = a + 49d = 106 ...(2)

3. अब (2) में से (1) घटाते हैं:
(a + 49d) - (a + 2d) = 106 - 12
a + 49d - a - 2d = 94
47d = 94
d = 94 / 47 = 2

4. अब d = 2 को समीकरण (1) में रखें:
a + 2 × 2 = 12
a + 4 = 12
a = 12 - 4
a = 8

5. अब 29वाँ पद निकालें:
a29 = a + 28d
a29 = 8 + 28 × 2
a29 = 8 + 56
a29 = 64

निष्कर्ष:
इस A.P. का 29वाँ पद 64 है。

Q9. (दीर्घ) किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है। तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. योग का सूत्र:
Sn = n/2 [2a + (n - 1)d]

2. प्रथम 7 पदों के लिए:
S7 = 49
49 = 7/2 [2a + (7 - 1)d]
49 = 7/2 [2a + 6d]

दोनों तरफ 2 से गुणा और 7 से भाग:
49 × 2 / 7 = 2a + 6d
14 = 2a + 6d
2 से भाग दें:
7 = a + 3d ...(1)

3. प्रथम 17 पदों के लिए:
S17 = 289
289 = 17/2 [2a + (17 - 1)d]
289 = 17/2 [2a + 16d]

289 × 2 / 17 = 2a + 16d
34 = 2a + 16d
2 से भाग दें:
17 = a + 8d ...(2)

4. अब (2) में से (1) घटाएँ:
(a + 8d) - (a + 3d) = 17 - 7
a + 8d - a - 3d = 10
5d = 10
d = 2

5. d = 2 को (1) में रखें:
7 = a + 3 × 2
7 = a + 6
a = 7 - 6
a = 1

6. अब n पदों के योग का सामान्य सूत्र लिखें:
Sn = n/2 [2a + (n - 1)d]
Sn = n/2 [2 × 1 + (n - 1) × 2]
Sn = n/2 [2 + 2n - 2]
2 और -2 कट जाते हैं:
Sn = n/2 [2n]
Sn = n × n
Sn = n²

निष्कर्ष:
इस A.P. के प्रथम n पदों का योग Sn = n² है。

Q10. (दीर्घ) 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ लिखिए:
1, 3, 5, 7, ..., 49

2. यह एक A.P. है:
पहला पद a = 1
दूसरा पद = 3
इसलिए d = 3 - 1 = 2
अंतिम पद an = 49

3. पहले यह जानें कि कुल कितनी विषम संख्याएँ हैं (यानी n क्या है)。
सूत्र:
an = a + (n - 1)d
49 = 1 + (n - 1)2

4. हल करें:
49 - 1 = 2(n - 1)
48 = 2(n - 1)
48 / 2 = n - 1
24 = n - 1
n = 25
यानी ऐसी कुल 25 विषम संख्याएँ हैं。

5. अब योग Sn का सूत्र लगाएँ:
Sn = n/2 (a + an)
यहाँ n = 25, a = 1, an = 49
S25 = 25/2 (1 + 49)
S25 = 25/2 × 50

6. 50 को 2 से भाग दें:
50 / 2 = 25
इसलिए:
S25 = 25 × 25
S25 = 625

निष्कर्ष:
0 और 50 के बीच सभी विषम संख्याओं का योग 625 है。

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

⏳ 50:00

0 / 50

Q1. AP: 2, 7, 12, ... का सार्व अंतर (Common Difference) क्या है?

5 -5 2 7

उत्तर:
व्याख्या: सार्व अंतर (d) का मतलब है, दूसरी संख्या में से पहली संख्या घटाना। 7 - 2 = 5।

Q2. यदि किसी AP का पहला पद 4 और सार्व अंतर -3 है, तो दूसरा पद क्या होगा?

7 1 -1 12

उत्तर:
व्याख्या: दूसरा पद = पहला पद + अंतर। 4 + (-3) = 4 - 3 = 1।

Q3. AP: 10, 7, 4, ... का 30वाँ पद क्या है?

97 77 -77 -87

उत्तर:
व्याख्या: सूत्र: a + (n-1)d। यहाँ a=10, d=-3 है। तो 10 + 29(-3) = 10 - 87 = -77।

Q4. यदि किसी AP का nवाँ पद (3n + 5) है, तो इसका सार्व अंतर क्या होगा?

3 5 2 1

उत्तर:
व्याख्या: ट्रिक: n के साथ जो गुणा में होता है, वही सार्व अंतर (d) होता है। यहाँ n के साथ 3 है, तो d = 3।

Q5. AP: 3, 1, -1, -3, ... का सार्व अंतर क्या है?

2 -2 4 -4

उत्तर:
व्याख्या: 1 - 3 = -2। (बाद वाले में से पहले वाला घटाना है)।

Q6. प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं का योग क्या होगा?

50 55 45 60

उत्तर:
व्याख्या: सूत्र: n(n+1)/2। 10×11/2 = 110/2 = 55।

Q7. निम्नलिखित में से कौन समांतर श्रेढ़ी (AP) है?

2, 4, 8, 16 1, 3, 9, 27 -10, -6, -2, 2 3, 3, 33, 333

उत्तर:
व्याख्या: विकल्प (c) में अंतर समान है: -6 - (-10) = 4, -2 - (-6) = 4, 2 - (-2) = 4। बाकी सब में अंतर अलग-अलग है।

Q8. यदि AP का सार्व अंतर 5 है, तो a₁₈ - a₁₃ का मान क्या होगा?

5 20 25 30

उत्तर:
व्याख्या: 18वें और 13वें पद का अंतर 5d के बराबर होता है (18-13=5)। तो 5 × 5 = 25।

Q9. AP का सामान्य पद (General Term) निकालने का सूत्र क्या है?

a + nd a + (n-1)d a + (n+1)d 2a + (n-1)d

उत्तर:
व्याख्या: किसी भी पद को निकालने का सही सूत्र a + (n-1)d होता है।

Q10. AP: 21, 18, 15, ... का कौन सा पद शून्य (0) है?

6ठा 7वाँ 8वाँ 9वाँ

उत्तर:
व्याख्या: a=21, d=-3। सूत्र: a + (n-1)d = 0 ⇒ 21 + (n-1)(-3) = 0 ⇒ 21 = 3(n-1) ⇒ 7 = n-1 ⇒ n = 8।

Q11. 1 से 100 तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

4050 5050 5005 5500

उत्तर:
व्याख्या: सूत्र: n(n+1)/2। 100×101/2 = 50×101 = 5050।

Q12. AP: -3, -1/2, 2, ... का 11वाँ पद है:

28 22 -38 -48½

उत्तर:
व्याख्या: d = -1/2 - (-3) = 2.5 (या 5/2)। 11वाँ पद = a + 10d = -3 + 10(2.5) = -3 + 25 = 22।

Q13. दो अंकों वाली कितनी संख्याएं 3 से विभाज्य (Divided) हैं?

25 30 32 33

उत्तर:
व्याख्या: पहली 12, आखिरी 99। सूत्र: 12 + (n-1)3 = 99। हल करने पर n = 30 आएगा।

Q14. यदि AP के प्रथम पद 'a' और सार्व अंतर 'd' हों, तो n पदों का योग (Sn) क्या होगा?

n/2 [2a + (n-1)d] n/2 [a + (n-1)d] n [2a + nd] a + nd

उत्तर:
व्याख्या: योग का सही सूत्र n/2 [2a + (n-1)d] होता है।

Q15. AP: 2, 6, 10, 14 ... का कौन सा पद 82 है?

15वाँ 20वाँ 21वाँ 22वाँ

उत्तर:
व्याख्या: a=2, d=4। 2 + (n-1)4 = 82 ⇒ 4(n-1) = 80 ⇒ n-1 = 20 ⇒ n = 21।

Q16. 8 के प्रथम 15 गुणजों (Multiples) का योग क्या होगा?

960 900 1000 840

उत्तर:
व्याख्या: पहला 8, आखिरी 120 (15×8)। योग = 15/2 (8 + 120) = 15/2 × 128 = 15 × 64 = 960।

Q17. यदि a, b, c AP में हैं, तो b का मान क्या होगा?

(a - c)/2 (a + c)/2 a + c ac

उत्तर:
व्याख्या: बीच वाला पद (b) किनारे वाले पदों (a और c) का औसत होता है। b = (a+c)/2। इसे 'समांतर माध्य' भी कहते हैं।

Q18. AP: 0.6, 1.7, 2.8, ... का सार्व अंतर क्या है?

1.0 1.1 0.9 1.2

उत्तर:
व्याख्या: 1.7 - 0.6 = 1.1।

Q19. यदि 4/5, a, 2 किसी AP के तीन क्रमागत पद हैं, तो a का मान क्या है?

7/5 5/4 9/5 2/5

उत्तर:
व्याख्या: a = (4/5 + 2)/2 = (14/5)/2 = 7/5।

Q20. AP: 5, 8, 11, ... का 10वाँ पद क्या है?

32 35 38 185

उत्तर:
व्याख्या: a=5, d=3। 10वाँ पद = a + 9d = 5 + 9(3) = 5 + 27 = 32।

Q21. यदि प्रथम पद a = 5 और अंतिम पद l = 45 हो, और योग 400 हो, तो पदों की संख्या (n) कितनी है?

16 15 20 25

उत्तर:
व्याख्या: योग का सूत्र Sn = n/2(a+l)। 400 = n/2(5+45) ⇒ 400 = n/2(50) ⇒ 400 = 25n ⇒ n = 16।

Q22. AP में 'd' (सार्व अंतर) कैसा हो सकता है?

केवल धनात्मक (+) केवल ऋणात्मक (-) केवल शून्य धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य

उत्तर:
व्याख्या: सार्व अंतर प्लस में, माइनस में या जीरो, कुछ भी हो सकता है।

Q23. प्रथम 200 प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

20100 20200 19900 40200

उत्तर:
व्याख्या: n(n+1)/2 = 200×201/2 = 100×201 = 20100।

Q24. AP: √2, √8, √18, √32... का सार्व अंतर क्या है?

√2 2 √6 3

उत्तर:
व्याख्या: √8 = 2√2 होता है। तो 2√2 - √2 = √2। (एक √2 बच गया)।

Q25. यदि किसी AP का सार्व अंतर 5 है, तो a₁₀ - a₅ का मान क्या होगा?

5 15 25 50

उत्तर:
व्याख्या: 10 - 5 = 5। अंतर 5d के बराबर होगा। 5 × 5 = 25।

Q26. AP: 13, 19, ..., 205 में पदों की संख्या कितनी है?

30 31 32 33

उत्तर:
व्याख्या: a=13, d=6। 13 + (n-1)6 = 205 ⇒ 6(n-1) = 192 ⇒ n-1 = 32 ⇒ n = 33।

Q27. यदि AP का nवाँ पद 5 - 3n है, तो इसका सार्व अंतर है:

5 -3 3 2

उत्तर:
व्याख्या: n के साथ -3 गुणा में है, इसलिए सार्व अंतर -3 होगा।

Q28. 21, 18, 15... का कौन सा पद -81 है?

33वाँ 34वाँ 35वाँ 36वाँ

उत्तर:
व्याख्या: a=21, d=-3। 21 + (n-1)(-3) = -81 ⇒ -3(n-1) = -102 ⇒ n-1 = 34 ⇒ n = 35।

Q29. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग क्या है?

600 625 500 250

उत्तर:
व्याख्या: 0 से 50 में 25 विषम संख्याएं हैं। विषम संख्याओं का योग n² होता है। 25² = 625।

Q30. यदि 18, a, b, -3 AP में हैं, तो a + b का मान क्या होगा?

19 7 11 15

उत्तर:
व्याख्या: AP में शुरू से और अंत से समान दूरी वाले पदों का योग बराबर होता है। a+b = 18 + (-3) = 15।

Q31. समांतर श्रेढ़ी -10, -6, -2, 2, ... का सार्व अंतर क्या है?

-4 4 2 8

उत्तर:
व्याख्या: -6 - (-10) = -6 + 10 = 4।

Q32. किसी AP का दूसरा पद 13 और 5वाँ पद 25 है, तो सार्व अंतर क्या है?

4 5 3 6

उत्तर:
व्याख्या: 5वाँ पद - 2रा पद = 3d। 25 - 13 = 12। तो 3d = 12, इसलिए d = 4।

Q33. प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का योग क्या होता है?

2n + 1 n² n² - 1 n(n+1)

उत्तर:
व्याख्या: विषम संख्याओं का योग हमेशा n² होता है। (जैसे 1+3=4 जो 2² है)।

Q34. AP: 2, 7, 12, ... के प्रथम 10 पदों का योग क्या होगा?

245 240 250 50

उत्तर:
व्याख्या: n/2[2a+(n-1)d] = 10/2[2(2)+9(5)] = 5[4+45] = 5×49 = 245।

Q35. क्या अनुक्रम 5, 11, 17, 23, ... में कोई पद 301 हो सकता है?

हाँ नहीं कह नहीं सकते शायद

उत्तर:
व्याख्या: 5 + (n-1)6 = 301 ⇒ 6(n-1) = 296। 296, 6 से पूरा नहीं कटता। n भिन्न में नहीं हो सकता, इसलिए नहीं।

Q36. 3 के प्रथम 5 गुणजों का योग है:

45 55 65 75

उत्तर:
व्याख्या: 3, 6, 9, 12, 15 का योग। 3+6+9+12+15 = 45।

Q37. यदि किसी AP का पहला पद -2 और अंतर -2 हो, तो पहले 4 पद होंगे:

-2, 0, 2, 4 -2, 4, -8, 16 -2, -4, -6, -8 -2, -2, -2, -2

उत्तर:
व्याख्या: -2 में -2 जोड़ें → -4, फिर -6, फिर -8।

Q38. यदि AP का 7वाँ पद 4 और अंतर -4 है, तो पहला पद क्या है?

16 20 24 28

उत्तर:
व्याख्या: a + 6d = 4 ⇒ a + 6(-4) = 4 ⇒ a - 24 = 4 ⇒ a = 28।

Q39. AP के लगातार पदों के अंतर को क्या कहते हैं?

अनुपात सार्व अंतर गुणनफल योग

उत्तर:
व्याख्या: इसे 'सार्व अंतर' (Common Difference) कहते हैं।

Q40. यदि Sₙ = 3n² + n है, तो इसका दूसरा पद क्या है?

10 14 4 2

उत्तर:
व्याख्या: S₁ = पहला पद = 3(1)²+1 = 4। S₂ (दो पदों का योग) = 3(2)²+2 = 14। दूसरा पद = S₂ - S₁ = 14 - 4 = 10।

Q41. AP: a, 3a, 5a, ... का nवाँ पद क्या होगा?

na (2n-1)a (2n+1)a 2na

उत्तर:
व्याख्या: अंतर 2a का है। सूत्र: a + (n-1)2a = a + 2an - 2a = 2an - a = a(2n-1)।

Q42. प्रथम 100 सम प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

10100 5050 10000 2550

उत्तर:
व्याख्या: सम संख्याओं का योग n(n+1) होता है। 100 × 101 = 10100।

Q43. यदि x+2, 3x और 4x+1 AP में हैं, तो x का मान है:

2 3 4 1

उत्तर:
व्याख्या: 2(3x) = (x+2) + (4x+1) ⇒ 6x = 5x + 3 ⇒ x = 3।

Q44. किसी AP का 6ठा और 12वाँ पद क्रमशः 13 और 25 हैं, इसका 20वाँ पद है:

41 39 43 37

उत्तर:
व्याख्या: 12वाँ - 6ठा = 6d। 25-13=12, तो 6d=12 यानी d=2। a+10=13, तो a=3। 20वाँ = 3+19(2)=41।

Q45. AP: 2, ..., 20, 29 में रिक्त स्थान पर क्या आएगा?

11 10 12 9

उत्तर:
व्याख्या: 20 और 29 में 9 का अंतर है। तो d=9। 2 में 9 जोड़ेंगे तो 11 आएगा।

Q46. 107 और 253 के बीच (दोनों को छोड़कर) 5 से विभाज्य संख्याओं की संख्या है:

30 29 31 32

उत्तर:
व्याख्या: 107 से बड़ी पहली 5 से विभाज्य संख्या 110 और 253 से छोटी अंतिम 250 है; AP: 110,115,…,250 ⇒ n = (250−110)/5 + 1 = 29।

Q47. यदि a, b, c, d, e AP में हैं, तो a - 4b + 6c - 4d + e का मान क्या होगा?

1 2 0 a

उत्तर:
व्याख्या: मान लो AP 1, 2, 3, 4, 5 है। 1 - 8 + 18 - 16 + 5 = 24 - 24 = 0।

Q48. AP: 25, 20, 15, ... का पहला ऋणात्मक (Negative) पद कौन सा होगा?

6ठा 7वाँ 8वाँ 9वाँ

उत्तर:
व्याख्या: 25, 20, 15, 10, 5, 0, -5। -5 सातवें नंबर पर आ रहा है।

Q49. यदि किसी AP के p पदों का योग q है और q पदों का योग p है, तो (p+q) पदों का योग क्या होगा?

p + q p - q -(p + q) 0

उत्तर:
व्याख्या: यह एक मानक परिणाम (Standard Result) है, इसका उत्तर हमेशा -(p+q) होता है।

Q50. किसी AP में यदि Sn = 5n² + 3n हो, तो उसका सार्व अंतर (d) क्या होगा?

10 8 5 3

उत्तर:
व्याख्या: ट्रिक: n² के गुणांक का दुगना सार्व अंतर होता है। यहाँ n² के साथ 5 है, तो 5 × 2 = 10।

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