कक्षा 10 गणित अध्याय 6 त्रिभुज – नोट्स, प्रश्न उत्तर व MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 6 Triangles Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

सर्वांगसमता बनाम समरूपता (Difference)

कक्षा 9 में आपने सर्वांगसमता (Congruence) पढ़ी थी, कक्षा 10 में हम समरूपता (Similarity) पढ़ेंगे। अंतर समझें:

1. सर्वांगसम (Congruent) ≅
आकार (Shape) और आमाप (Size) दोनों समान होते हैं।
उदाहरण: एक ही कंपनी के दो 5 रुपये के सिक्के।

2. समरूप (Similar) ~
आकार (Shape) समान होता है, लेकिन आमाप (Size) अलग हो सकता है।
उदाहरण: ताजमहल और उसका छोटा मॉडल।

बहुभुजों की समरूपता की शर्त:
दो बहुभुज (जैसे त्रिभुज, वर्ग) समरूप होते हैं यदि:
1. उनके संगत कोण (Corresponding Angles) बराबर हों।
2. उनकी संगत भुजाएँ (Corresponding Sides) एक ही अनुपात (समानुपाती) में हों।

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT / Thales Theorem)

यह इस अध्याय का सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय है। यह त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के बारे में है।

प्रमेय का कथन:
यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को काटने के लिए एक रेखा खींची जाए (जैसे DE || BC), तो अन्य दो भुजाएं एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

AD / DB = AE / EC

उदाहरण 1:

चित्र में यदि DE || BC है, AD = 1.5 cm, DB = 3 cm, और AE = 1 cm है, तो EC ज्ञात करें।

हल:
चूँकि DE || BC है, इसलिए BPT से:
AD / DB = AE / EC
1.5 / 3 = 1 / EC
1 / 2 = 1 / EC (क्योंकि 1.5 का दुगुना 3 है)
वज्र-गुणन (Cross multiply) करने पर:
EC = 2 cm

त्रिभुजों की समरूपता के नियम (Criteria)

हमें हर बार सभी कोण और भुजाएं चेक करने की ज़रूरत नहीं है। इन 3 नियमों से काम चल जाता है:

A. कोण-कोण-कोण (AAA) या (AA):
यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे समरूप होते हैं।
(नोट: अगर दो कोण बराबर हों, तो तीसरा अपने आप बराबर हो जाता है, इसलिए इसे AA नियम भी कहते हैं।)

B. भुजा-भुजा-भुजा (SSS):
यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात समान हो, तो वे समरूप होते हैं।
(ध्यान दें: भुजाएं बराबर होना जरूरी नहीं, उनका अनुपात बराबर होना चाहिए।)

C. भुजा-कोण-भुजा (SAS):
यदि एक कोण बराबर हो और उस कोण को बनाने वाली दोनों भुजाएं समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

समरूप त्रिभुजों का क्षेत्रफल

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग (Square) के बराबर होता है।

सूत्र (Formula)

Area(ΔABC) / Area(ΔPQR) = (AB / PQ)² = (BC / QR)² = (CA / RP)²

उदाहरण 2:

दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 4:9 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
हल:
क्षेत्रफलों का अनुपात = (भुजाओं का अनुपात)²
= (4 / 9)²
= 16 / 81
उत्तर: 16:81

पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)

समकोण त्रिभुज (Right-angled Triangle) में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय।

प्रमेय:
एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग (Hypotenuse Square) शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

H² = P² + B²

(अर्थात: AC² = AB² + BC²)

विलोम (Converse):

यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण (90°) होता है।

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 🏆 थेल्स प्रमेय (BPT) [Most Important]: यह प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) बोर्ड परीक्षा का सबसे पसंदीदा टॉपिक है। इसका कथन (Statement) और सिद्धिकरण (Proof) 5 नंबर में अक्सर पूछा जाता है।
• 📐 समरूपता की शर्तें: दो त्रिभुज समरूप होंगे यदि:
  1. संगत कोण बराबर हों (AAA)।
  2. संगत भुजाएँ समानुपाती हों (SSS)।
  3. एक कोण बराबर हो और उसे बनाने वाली भुजाएँ समानुपाती हों (SAS)।
• ⚠️ क्षेत्रफल प्रमेय: याद रखें, समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग (Square) के बराबर होता है।
  Ar(ABC)/Ar(PQR) = (AB/PQ)²। छात्र अक्सर वर्ग करना भूल जाते हैं।
• 🔨 पाइथागोरस प्रमेय: इसका विलोम (Converse) भी महत्वपूर्ण है। यदि (बड़ी भुजा)² = (शेष दो भुजाओं का वर्ग योग), तो बड़ी भुजा के सामने का कोण 90° होगा।

"थेल्स प्रमेय (BPT) और पाइथागोरस प्रमेय को लिखकर अभ्यास करें। सिद्ध करने वाले प्रश्नों में 'दिया है', 'सिद्ध करना है' और 'रचना' लिखना अनिवार्य है।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Self Test)

(नीचे दिए गए प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जांचें)

Q1. (लघु) यदि त्रिभुज ABC में DE || BC है, और AD = 1.5 सेमी, DB = 3 सेमी, AE = 1 सेमी है, तो EC का मान ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. थेल्स प्रमेय (आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा के समांतर रेखा खींची जाए, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में बांटती है।

2. चूँकि DE || BC है, इसलिए:
AD / DB = AE / EC

3. अब मान रखते हैं:
1.5 / 3 = 1 / EC

4. दशमलव हटाने के लिए 1.5 को 3 से भाग दें, तो 1/2 आता है।
1 / 2 = 1 / EC

5. तिरछा गुणा (Cross multiply) करने पर:
EC × 1 = 2 × 1
EC = 2 सेमी

निष्कर्ष:
अतः EC की लंबाई 2 सेमी है।

Q2. (लघु) दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 4 : 9 है। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. नियम: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग (Square) के बराबर होता है।

2. भुजाओं का अनुपात = 4 / 9

3. क्षेत्रफलों का अनुपात = (4 / 9)²

4. (4)² = 16
(9)² = 81

निष्कर्ष:
अतः क्षेत्रफलों का अनुपात 16 : 81 होगा।

Q3. (लघु) एक सीढ़ी दीवार पर इस प्रकार टिकी है कि उसका निचला सिरा दीवार से 2.5 मीटर की दूरी पर है और उसका ऊपरी सिरा जमीन से 6 मीटर की ऊँचाई पर बनी खिड़की तक पहुँचता है। सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. यह एक समकोण त्रिभुज बनेगा जहाँ:
आधार (दीवार से दूरी) = 2.5 मीटर
लंब (ऊँचाई) = 6 मीटर
कर्ण (सीढ़ी की लंबाई) = ?

2. पाइथागोरस प्रमेय से:
(कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²
(कर्ण)² = (2.5)² + (6)²

3. (कर्ण)² = 6.25 + 36
(कर्ण)² = 42.25

4. कर्ण = √42.25
6.5 × 6.5 = 42.25 होता है।

निष्कर्ष:
अतः सीढ़ी की लंबाई 6.5 मीटर है।

Q4. (लघु) त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है (90°)। सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. दिया है: त्रिभुज ABC में कोण C = 90° है।
और यह समद्विबाहु (Isosceles) है, इसका मतलब दो भुजाएँ बराबर हैं।
कर्ण (AB) सबसे बड़ी भुजा होती है, इसलिए बाकी दो भुजाएँ ही बराबर होंगी।
अतः AC = BC

2. पाइथागोरस प्रमेय से:
AB² = AC² + BC²

3. चूँकि BC = AC है, तो हम BC की जगह AC लिख सकते हैं:
AB² = AC² + AC²
AB² = 2AC²

निष्कर्ष:
यही सिद्ध करना था।

Q5. (लघु) किसी समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) की भुजा 2a है। उसके शीर्षलंब (Altitude) की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. माना त्रिभुज ABC है जिसकी प्रत्येक भुजा 2a है।
AD एक शीर्षलंब है जो आधार BC को दो बराबर भागों में बाँटता है।
इसलिए, BD = a और DC = a (क्योंकि पूरा BC = 2a है)।

2. त्रिभुज ABD एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय से:
AB² = AD² + BD²
(2a)² = AD² + (a)²

3. 4a² = AD² + a²
AD² = 4a² - a²
AD² = 3a²
AD = √(3a²)
AD = a√3

निष्कर्ष:
अतः शीर्षलंब की लंबाई a√3 है।

Q6. (लघु) ΔABC और ΔDEF समरूप हैं। यदि कोण A = 47° और कोण E = 83° है, तो कोण C का मान ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. चूँकि ΔABC ∼ ΔDEF (समरूप हैं), तो संगत कोण बराबर होते हैं।
कोण A = कोण D = 47°
कोण B = कोण E = 83°
कोण C = कोण F

2. हमें त्रिभुज ABC के दो कोण पता चल गए:
∠A = 47°
∠B = 83° (क्योंकि ∠E = 83° है)

3. त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
∠A + ∠B + ∠C = 180°
47° + 83° + ∠C = 180°
130° + ∠C = 180°
∠C = 180° - 130°
∠C = 50°

निष्कर्ष:
अतः कोण C का मान 50° है।

Q7. (लघु) 10 मीटर लंबी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 मीटर की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. यह पाइथागोरस प्रमेय का सवाल है।
कर्ण (सीढ़ी) = 10 मीटर
लंब (दीवार की ऊँचाई) = 8 मीटर
आधार (दूरी) = ?

2. सूत्र: (कर्ण)² = (लंब)² + (आधार)²
(10)² = (8)² + (आधार)²
100 = 64 + (आधार)²
100 - 64 = (आधार)²
36 = (आधार)²
आधार = √36
आधार = 6

निष्कर्ष:
अतः दीवार से सीढ़ी की दूरी 6 मीटर है।

Q8. (दीर्घ) एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 किमी/घंटा की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 किमी/घंटा की चाल से उड़ता है। 1½ घंटे (डेढ़ घंटे) के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?

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हल (कदम-दर-कदम):

1. समय = 1½ घंटे = 1.5 घंटे (या 3/2 घंटे)

2. पहले जहाज (उत्तर दिशा) द्वारा तय दूरी:
दूरी = चाल × समय
= 1000 × 1.5 = 1500 किमी (यह लंब है)

3. दूसरे जहाज (पश्चिम दिशा) द्वारा तय दूरी:
दूरी = चाल × समय
= 1200 × 1.5 = 1800 किमी (यह आधार है)

4. अब दोनों जहाजों के बीच की सीधी दूरी (कर्ण) निकालनी है।
पाइथागोरस प्रमेय से:
(दूरी)² = (1500)² + (1800)²
(दूरी)² = 2250000 + 3240000
(दूरी)² = 5490000

5. दूरी = √5490000
= √(90000 × 61)
= 300√61 किमी

निष्कर्ष:
अतः दोनों जहाजों के बीच की दूरी 300√61 किमी होगी।

Q9. (दीर्घ) 6 मीटर लंबाई वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ (Pole) की भूमि पर छाया की लंबाई 4 मीटर है। जबकि उसी समय एक मीनार (Tower) की छाया की लंबाई 28 मीटर है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. "उसी समय" का मतलब है कि सूर्य का उन्नयन कोण दोनों के लिए समान है। इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप (Similar) होंगे。

2. माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर
स्तंभ की ऊँचाई = 6 मीटर
स्तंभ की छाया = 4 मीटर
मीनार की छाया = 28 मीटर

3. समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपाती होती हैं:
(मीनार की ऊँचाई) / (स्तंभ की ऊँचाई) = (मीनार की छाया) / (स्तंभ की छाया)

4. h / 6 = 28 / 4

5. दाहिने पक्ष को हल करें: 28 / 4 = 7
h / 6 = 7

6. तिरछा गुणा करें:
h = 7 × 6
h = 42 मीटर

निष्कर्ष:
अतः मीनार की ऊँचाई 42 मीटर है।

Q10. (दीर्घ) सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज (Rhombus) की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों (Diagonals) के वर्गों के योग के बराबर होता है। (संख्यात्मक उदाहरण के साथ समझाइए)

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. नियम: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को 90 डिग्री (समकोण) पर समद्विभाजित (आधा-आधा) करते हैं。

2. माना समचतुर्भुज ABCD है जिसकी भुजा AB है और विकर्ण AC और BD बिंदु O पर काटते हैं।
तो, त्रिभुज AOB एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय से:
AB² = OA² + OB²

3. क्योंकि O मध्य बिंदु है:
OA = (1/2)AC
OB = (1/2)BD

4. मान रखने पर:
AB² = [(1/2)AC]² + [(1/2)BD]²
AB² = (1/4)AC² + (1/4)BD²

5. 4 से गुणा करने पर:
4AB² = AC² + BD²

6. चूँकि समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं (AB = BC = CD = DA), तो 4AB² का मतलब चारों भुजाओं के वर्गों का योग है।
AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²

निष्कर्ष:
अतः सिद्ध हुआ कि भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

⏳ 50:00

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Q1. सभी वृत्त (Circles) आपस में कैसे होते हैं?

सर्वांगसम समरूप दोनों इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: 'समरूप' का मतलब है जिनका रूप (Shape) एक जैसा हो, चाहे साइज छोटा-बड़ा हो। सभी वृत्त गोल होते हैं, इसलिए वे समरूप हैं।

Q2. सभी वर्ग (Squares) होते हैं:

समरूप सर्वांगसम समानुपाती कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: सभी वर्गों के चारों कोण 90° होते हैं और भुजाएं बराबर होती हैं। देखने में सब एक जैसे लगते हैं, बस छोटे-बड़े हो सकते हैं। इसलिए समरूप हैं।

Q3. सभी समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangles) कैसे होते हैं?

समरूप सर्वांगसम विषमबाहु इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: समबाहु त्रिभुज का हर कोण 60° का होता है। रूप एक जैसा होने के कारण ये हमेशा समरूप होते हैं।

Q4. दो समानकोणिक त्रिभुजों में उनकी संगत भुजाओं का अनुपात सदैव समान रहता है, यह किसने कहा था?

आर्यभट्ट यूक्लिड थेल्स पाइथागोरस

उत्तर:
व्याख्या: यह बात महान गणितज्ञ 'थेल्स' ने कही थी। इसे आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (BPT) भी कहते हैं।

Q5. यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएं समानुपाती हों, तो वे त्रिभुज कैसे होंगे?

समरूप सर्वांगसम दोनों इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: अगर भुजाओं का अनुपात बराबर हो (जैसे एक त्रिभुज की भुजाएं दूसरे से दुगनी हों), तो वे समरूप (Similar) होते हैं। यह SSS समरूपता है।

Q6. यदि दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 4:9 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

2:3 4:9 81:16 16:81

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफल का अनुपात भुजाओं के वर्ग (Square) के बराबर होता है। 4 का स्क्वायर 16 और 9 का स्क्वायर 81।

Q7. त्रिभुज ABC में, यदि DE || BC है और AD/DB = 3/5 है, यदि AE = 4.8 cm हो तो EC का मान क्या होगा?

8 cm 6 cm 9 cm 4 cm

उत्तर:
व्याख्या: थेल्स प्रमेय से: AD/DB = AE/EC। यानी 3/5 = 4.8/EC। EC = (4.8 × 5) / 3 = 24 / 3 = 8 cm।

Q8. पाइथागोरस प्रमेय का संबंध किस त्रिभुज से है?

समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज समकोण त्रिभुज इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: पाइथागोरस प्रमेय (कर्ण² = लंब² + आधार²) केवल समकोण त्रिभुज (Right Angled Triangle) में लगता है।

Q9. यदि किसी त्रिभुज की भुजाएं 6 cm, 8 cm और 10 cm हैं, तो वह कैसा त्रिभुज है?

समकोण अधिककोण न्यूनकोण कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: सबसे बड़ी भुजा का वर्ग बाकी दो के वर्गों के जोड़ के बराबर है (10² = 6² + 8² ⇒ 100 = 36 + 64)। इसलिए यह समकोण त्रिभुज है।

Q10. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 25:64 है, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात क्या होगा?

25:64 5:8 625:4096 5:64

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफल से भुजा निकालने के लिए वर्गमूल (Root) निकालते हैं। √25 = 5 और √64 = 8।

Q11. समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है, तो उसकी ऊँचाई (शीर्षलंब) क्या होगी?

a√3 a√2 3a a

उत्तर:
व्याख्या: समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई का सूत्र (√3/2) × भुजा होता है। यहाँ भुजा 2a है। तो (√3/2) × 2a = a√3।

Q12. त्रिभुज ABC में AB=6√3 cm, AC=12 cm और BC=6 cm है, तो कोण B का मान क्या होगा?

120° 60° 90° 45°

उत्तर:
व्याख्या: जांच करें: (6√3)² + 6² = 108 + 36 = 144। और 12² भी 144 होता है। यह पाइथागोरस प्रमेय है, इसलिए कोण B 90° होगा।

Q13. दो समरूप त्रिभुजों की परिमाप (Perimeter) क्रमशः 30 सेमी और 20 सेमी हैं। यदि पहले त्रिभुज की एक भुजा 12 सेमी है, तो दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा कितनी होगी?

8 cm 10 cm 6 cm 18 cm

उत्तर:
व्याख्या: परिमाप का अनुपात = भुजाओं का अनुपात। 30/20 = 12/x। 3/2 = 12/x ⇒ 3x = 24 ⇒ x = 8।

Q14. निम्न में से कौन सर्वांगसमता (Congruence) की कसौटी नहीं है?

AAA SAS SSS RHS

उत्तर:
व्याख्या: SSS, SAS और RHS सर्वांगसमता की कसौटियाँ हैं, जबकि AAA केवल समरूपता (Similarity) की कसौटी है, इसलिए सही उत्तर AAA है।

Q15. किसी त्रिभुज में एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को किस अनुपात में बांटती है?

समान अनुपात में असमान अनुपात में दुगने अनुपात में इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: यह थेल्स प्रमेय है। रेखा अन्य दो भुजाओं को 'समान अनुपात' में विभाजित करती है।

Q16. 10 मीटर लंबी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 मीटर की ऊँचाई पर स्थित खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी क्या है?

6 m 4 m 2 m 5 m

उत्तर:
व्याख्या: पाइथागोरस प्रमेय: कर्ण² = लंब² + आधार²। 10² = 8² + आधार²। 100 = 64 + आधार²। आधार² = 36, तो आधार = 6 मीटर।

Q17. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाइयों के अनुपात के _____ होता है।

बराबर वर्ग के बराबर आधा दुगना

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफल का अनुपात हमेशा भुजा, ऊँचाई या माध्यिका के 'वर्ग' (Square) के बराबर होता है।

Q18. एक समचतुर्भुज (Rhombus) के विकर्ण 6 cm और 8 cm हैं। इसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई क्या होगी?

5 cm 4 cm 7 cm 10 cm

उत्तर:
व्याख्या: समचतुर्भुज के विकर्ण 90° पर काटते हैं। आधे विकर्ण 3 cm और 4 cm होंगे। पाइथागोरस (3, 4, 5) से भुजा 5 cm आएगी।

Q19. यदि दो त्रिभुज ABC और PQR समरूप हैं और ∠A = 47°, ∠Q = 73° है, तो ∠C का मान क्या होगा?

50° 60° 73° 47°

उत्तर:
व्याख्या: समरूप में संगत कोण बराबर होते हैं। ∠A=∠P=47°, ∠B=∠Q=73°। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। ∠C = 180 - (47+73) = 180 - 120 = 60°।

Q20. एक आदमी 24 मीटर पश्चिम जाता है, फिर 10 मीटर उत्तर जाता है। वह अपने प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर है?

34 m 17 m 26 m 25 m

उत्तर:
व्याख्या: यह समकोण त्रिभुज बनेगा। कर्ण = √(24² + 10²) = √(576 + 100) = √676 = 26 मीटर।

Q21. ΔABC में, DE || BC, यदि AD = x, DB = x-2, AE = x+2, EC = x-1 हो, तो x का मान है:

3 4 5 2

उत्तर:
व्याख्या: x/(x-2) = (x+2)/(x-1)। तिर्यक गुणा करें: x(x-1) = (x+2)(x-2) ⇒ x² - x = x² - 4. x² कट गया, -x = -4 ⇒ x = 4।

Q22. दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 3:5 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है?

9:25 3:5 9:15 6:10

उत्तर:
व्याख्या: भुजाओं का वर्ग (Square) करें। 3 का वर्ग 9 और 5 का वर्ग 25।

Q23. पाइथागोरस प्रमेय का विलोम (Converse) किसने दिया था?

थेल्स पाइथागोरस यूक्लिड इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: पाइथागोरस प्रमेय और उसका विलोम दोनों पाइथागोरस और उनके शिष्यों से जुड़े हैं, लेकिन अक्सर परीक्षा में इसे सिद्ध करने का श्रेय पाइथागोरस को ही दिया जाता है।

Q24. किस त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है?

समबाहु समद्विबाहु समकोण न्यूनकोण

उत्तर:
व्याख्या: यह पाइथागोरस प्रमेय की परिभाषा है जो केवल समकोण त्रिभुज (Right Angle Triangle) के लिए है।

Q25. एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज का कर्ण क्या होगा यदि उसकी समान भुजा 'a' है?

a√2 2a a/√2 3a

उत्तर:
व्याख्या: कर्ण = √(a² + a²) = √(2a²) = a√2।

Q26. ΔABC ~ ΔDEF है। यदि क्षेत्रफल(ABC) = 9 और क्षेत्रफल(DEF) = 16 है। यदि EF = 4.2 cm है तो BC का मान क्या है?

3.15 cm 2.1 cm 4.2 cm 1.5 cm

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफलों का अनुपात = (भुजाओं का अनुपात)²। 9/16 = (BC/4.2)²। वर्गमूल लेने पर: 3/4 = BC/4.2। BC = (3 × 4.2) / 4 = 12.6 / 4 = 3.15 cm।

Q27. 6 मीटर और 11 मीटर ऊँचे दो खंभे समतल जमीन पर खड़े हैं। यदि उनके पादों (Feet) के बीच की दूरी 12 मीटर है, तो उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी क्या होगी?

13 m 14 m 15 m 12 m

उत्तर:
व्याख्या: ऊँचाई का अंतर = 11 - 6 = 5 मीटर। आधार की दूरी = 12 मीटर। कर्ण (सिरों की दूरी) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 मीटर।

Q28. समरूप त्रिभुजों का कौन सा गुण सही है?

संगत कोण बराबर होते हैं संगत भुजाएं समानुपाती होती हैं उपरोक्त दोनों इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: समरूप होने के लिए कोण बराबर होने चाहिए और भुजाओं का अनुपात समान होना चाहिए। दोनों सही हैं।

Q29. 'सर्वांगसम' (Congruent) आकृतियाँ 'समरूप' (Similar) भी होती हैं। यह कथन कैसा है?

सत्य असत्य कभी-कभी कह नहीं सकते

उत्तर:
व्याख्या: जो बिल्कुल एक जैसी (सर्वांगसम) हैं, वे दिखने में तो एक जैसी (समरूप) होंगी ही। इसलिए यह सत्य है। (नोट: उल्टा सच नहीं है - सभी समरूप सर्वांगसम नहीं होते)।

Q30. ΔABC में D और E क्रमशः AB और AC पर बिंदु हैं तथा DE || BC है। यदि AD/DB = 1/2 और AC = 27 cm है, तो AE कितना होगा?

9 cm 18 cm 27 cm 13.5 cm

उत्तर:
व्याख्या: AD/DB = 1/2 का मतलब AD पूरे AB का 1/3 हिस्सा है (क्योंकि 1+2=3)। इसी तरह AE पूरे AC का 1/3 होगा। AE = 27/3 = 9 cm।

Q31. एक वर्ग का विकर्ण 10√2 cm है, तो उसकी भुजा की लंबाई क्या होगी?

10 cm 20 cm 5 cm 15 cm

उत्तर:
व्याख्या: वर्ग का विकर्ण = भुजा × √2। 10√2 = भुजा × √2। √2 कट गया, भुजा = 10 cm।

Q32. दो समरूप त्रिभुजों की ऊँचाइयों का अनुपात 4:9 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

4:9 16:81 2:3 8:27

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफल का अनुपात ऊँचाई के वर्ग (Square) के बराबर होता है। 4²:9² = 16:81।

Q33. एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 4√3 cm² है, तो इसकी भुजा क्या होगी?

2 cm 4 cm 8 cm 16 cm

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफल = (√3/4) × भुजा²। 4√3 = (√3/4) × भुजा²। √3 कट गया। भुजा² = 4 × 4 = 16। भुजा = 4 cm।

Q34. समरूपता के लिए संकेत (Symbol) क्या है?

≅ = ~ ||

उत्तर:
व्याख्या: समरूपता को टेढ़ी लाइन (~) से दर्शाते हैं। (≅ सर्वांगसम का है)।

Q35. ΔABC में, ∠B = 90° है। यदि AC = 13 cm और BC = 5 cm है, तो AB की लंबाई क्या होगी?

10 cm 12 cm 8 cm 14 cm

उत्तर:
व्याख्या: पाइथागोरस त्रिक (Triplet) 5, 12, 13 होता है। या √(13² - 5²) = √(169-25) = √144 = 12 cm।

Q36. क्या सभी आयत (Rectangles) समरूप होते हैं?

हाँ नहीं हमेशा नहीं, कभी-कभी पता नहीं

उत्तर:
व्याख्या: नहीं, क्योंकि उनकी भुजाओं का अनुपात अलग-अलग हो सकता है (जैसे एक पतला आयत और एक मोटा आयत)। सभी वर्ग समरूप होते हैं, लेकिन सभी आयत नहीं।

Q37. एक त्रिभुज की भुजाएं 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी हैं। यह त्रिभुज कैसा है?

समकोण न्यूनकोण अधिककोण समद्विबाहु

उत्तर:
व्याख्या: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²। पाइथागोरस प्रमेय लग रहा है, इसलिए यह समकोण त्रिभुज है।

Q38. यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 1:4 है, तो उनके परिमापों का अनुपात क्या होगा?

1:4 1:2 1:16 4:1

उत्तर:
व्याख्या: परिमाप का अनुपात भुजा के अनुपात के बराबर होता है। क्षेत्रफल का रूट निकालो: √1 : √4 = 1:2।

Q39. दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों और उनकी संगत भुजाएं _____ हों।

बराबर असमान समानुपाती इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: भुजाएं बराबर होना ज़रूरी नहीं, उनका 'समानुपाती' (Proportional) होना ज़रूरी है।

Q40. चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral) के सभी शीर्ष कहाँ स्थित होते हैं?

त्रिभुज पर आयत पर वृत्त पर वर्ग पर

उत्तर:
व्याख्या: चक्रीय चतुर्भुज उसे कहते हैं जिसके चारों कोने एक वृत्त (Circle) के ऊपर होते हैं।

Q41. समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का एक कोण 90° है, तो अन्य दो कोण क्या होंगे?

30°, 60° 45°, 45° 50°, 40° 60°, 60°

उत्तर:
व्याख्या: त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। 90° निकल गया तो 90° बचा। चूंकि भुजाएं बराबर हैं, तो कोण भी बराबर होंगे। 90/2 = 45°।

Q42. सूर्य का उन्नयन कोण क्या है जब एक खंभे की परछाई और उसकी ऊँचाई बराबर हो?

30° 45° 60° 90°

उत्तर:
व्याख्या: जब लंब (ऊँचाई) और आधार (परछाई) बराबर हों, तो tan θ = 1 होता है, और यह 45° पर होता है। यह समरूप त्रिभुज का ही अनुप्रयोग है।

Q43. ΔABC में, AB² + BC² = AC² है, तो समकोण किस शीर्ष पर है?

A B C कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जो भुजा अकेली होती है (यहाँ AC कर्ण है), उसके सामने वाला कोण समकोण होता है। AC के सामने B है।

Q44. भुजा 'a' वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?

a²/4 (√3/2)a² (√3/4)a² a²/√3

उत्तर:
व्याख्या: मानक सूत्र (Standard Formula) (√3/4) × भुजा² है।

Q45. यदि ΔABC ~ ΔPQR, क्षेत्रफल(ABC) = 81 cm², क्षेत्रफल(PQR) = 49 cm² और ΔABC की ऊँचाई 4.5 cm है, तो ΔPQR की ऊँचाई क्या होगी?

3.5 cm 3 cm 2.5 cm 4 cm

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफलों का अनुपात = (ऊँचाई का अनुपात)²। 81/49 = (4.5/h)²। वर्गमूल: 9/7 = 4.5/h। h = (4.5 × 7) / 9 = 0.5 × 7 = 3.5 cm।

Q46. एक समकोण त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा को क्या कहते हैं?

लंब आधार कर्ण शीर्षलंब

उत्तर:
व्याख्या: 90° के सामने वाली भुजा 'कर्ण' (Hypotenuse) सबसे लंबी होती है।

Q47. निम्न में कौन सा पाइथागोरस त्रिक (Triplet) नहीं है?

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (6, 8, 10) (4, 5, 8)

उत्तर:
व्याख्या: (d) में 4² + 5² = 16 + 25 = 41, जो 8² (64) के बराबर नहीं है। बाकी सब सही हैं।

Q48. एक वृत्त की स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के साथ कितना कोण बनाती है?

60° 45° 90° 180°

उत्तर:
व्याख्या: स्पर्श रेखा और त्रिज्या हमेशा एक-दूसरे पर लंब (Perpendicular) होती हैं, यानी 90° का कोण।

Q49. किसी त्रिभुज की मध्यिकाओं (Medians) का कटान बिंदु क्या कहलाता है?

लंबकेंद्र केन्द्रक (Centroid) अंतःकेंद्र परिकेंद्र

उत्तर:
व्याख्या: जहाँ तीनों मध्यिकाएं मिलती हैं, उसे केन्द्रक (Centroid) कहते हैं।

Q50. केन्द्रक, मध्यिका को किस अनुपात में विभाजित करता है?

1:1 2:1 3:1 1:2

उत्तर:
व्याख्या: केन्द्रक शीर्ष की ओर से मध्यिका को 2:1 के अनुपात में बांटता है।

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