कक्षा 10 गणित अध्याय 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग – नोट्स, प्रश्न उत्तर व MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 9 Some Applications of Trigonometry Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

📜 परिचय (Introduction)

इस अध्याय को 'ऊँचाई और दूरी' (Height and Distance) भी कहा जाता है। इसमें हम त्रिकोणमिति का उपयोग करके उन वस्तुओं की ऊँचाई या दूरी मापते हैं जिन्हें फीते से मापना मुश्किल है, जैसे पर्वत, टावर, या उड़ता हुआ हवाई जहाज।

1. महत्वपूर्ण शब्दावली (Key Terms)

1. दृष्टि रेखा (Line of Sight): प्रेक्षक की आँख से वस्तु को मिलाने वाली सीधी रेखा।

2. उन्नयन कोण (Angle of Elevation): "नीचे से ऊपर" देखने पर बनने वाला कोण। (जैसे पतंग देखना)

3. अवनमन कोण (Angle of Depression): "ऊपर से नीचे" देखने पर बनने वाला कोण। (जैसे छत से सड़क देखना)

नोट: एकांतर कोण नियम से, अवनमन कोण हमेशा उन्नयन कोण के बराबर होता है। (α = θ)

2. महत्वपूर्ण सूत्र (Formula Box)

लाल / कक्का (LAL / KKA) नियम

sin θ	लंब / कर्ण (L/K)	कब लगाएँ? जब डोरी/सीढ़ी (K) निकालनी हो।
tan θ	लंब / आधार (L/A)	कब लगाएँ? जब ऊँचाई (L) या दूरी (A) निकालनी हो।

मान याद रखें:
tan 30° = 1/√3  |  tan 45° = 1  |  tan 60° = √3

3. अवधारणा 1: ऊँचाई ज्ञात करना (Using tan θ)

जब हमें आधार (दूरी) दी गई हो और ऊँचाई निकालनी हो, तो हम tan θ का उपयोग करते हैं।

उदाहरण 1:
एक मीनार के आधार से 30 मीटर दूर स्थित बिंदु से मीनार की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

हल:
1. दिया है: आधार (A) = 30 m, कोण (θ) = 30°
2. निकालना है: ऊँचाई (L)
3. सूत्र: tan θ = L / A
tan 30° = L / 30
1/√3 = L / 30
L = 30 / √3
(परिमेयकरण: √3 से गुणा और भाग)
L = (30√3) / 3 = 10√3 मीटर

4. अवधारणा 2: तिर्यक लंबाई ज्ञात करना (Using sin θ)

जब पतंग की डोरी या दीवार पर लगी सीढ़ी की लंबाई निकालनी हो, तो कर्ण (K) शामिल होता है, इसलिए sin θ लगता है।

उदाहरण 2:
एक पतंग जमीन से 60 मीटर की ऊँचाई पर है। डोरी जमीन से 60° का कोण बनाती है। डोरी की लंबाई क्या है?

हल:
1. दिया है: लंब (L) = 60 m, कोण = 60°
2. निकालना है: कर्ण (K)
3. सूत्र: sin θ = L / K
sin 60° = 60 / K
√3/2 = 60 / K
K√3 = 120
K = 120 / √3 = 40√3 मीटर

5. अवधारणा 3: दो त्रिभुज वाले प्रश्न

कभी-कभी एक ही चित्र में दो त्रिभुज बनते हैं। ऐसे में दोनों त्रिभुजों में 'tan θ' लगाकर समीकरण हल करें।

उदाहरण 3:
एक भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर और पाद (foot) के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। यदि भवन की ऊँचाई 7 मीटर है, तो टॉवर की ऊँचाई निकालें।

संकेत (Hint):
पहले 45° वाले त्रिभुज से आधार निकालें (tan 45° = 1 होता है, तो लंब = आधार)।
फिर उस आधार का मान दूसरे त्रिभुज (30°) में रखकर हल करें।

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 🖼️ चित्र सबसे महत्वपूर्ण: इस अध्याय में सही चित्र (Diagram) बनाने का 1 नंबर अलग से मिलता है। प्रश्न पढ़ते ही रफ चित्र बनाएं। अवनमन कोण (Angle of Depression) को हमेशा क्षैतिज रेखा के साथ दिखाएं, फिर एकांतर कोण से उसे नीचे लाएं।
• 📐 tanθ का प्रयोग: 95% सवालों में tanθ (लंब/आधार) ही लगता है। केवल 'पतंग की डोरी' या 'सीढ़ी' वाले सवालों में sinθ या cosθ लगता है।
• √3 का मान: यदि प्रश्न में न दिया हो, तो √3 का मान 1.732 प्रयोग करें, या उत्तर में √3 को वैसे ही छोड़ दें (जब तक कि प्रश्न में दशमलव में मान न पूछा हो)।
• 🚗 दो कोण वाले प्रश्न: जब एक ही मीनार को दो अलग-अलग बिंदुओं से देखा जाए (जैसे 30° और 60°), तो हमेशा दो त्रिभुज बनेंगे। दोनों में tanθ लगाकर समीकरण हल करें।

"चित्र में समकोण (90°) और कोण (θ) को सही जगह चिह्नित करना न भूलें। उन्नयन और अवनमन कोण का अंतर स्पष्ट रखें।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Self Test)

(नीचे दिए गए प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जांचें)

Q1. (लघु) सर्कस का एक कलाकार एक 20 मीटर लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और खंभे के शिखर से बंधी है। यदि डोर जमीन के साथ 30° का कोण बनाती है, तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. हमें खंभे की ऊँचाई (लंब) निकालनी है।
डोर की लंबाई (कर्ण) = 20 मीटर।
कोण = 30°

2. लंब और कर्ण का रिश्ता sin θ में होता है।
sin 30° = लंब / कर्ण
1/2 = खंभे की ऊँचाई / 20

3. तिरछा गुणा (Cross multiply) करें:
2 × खंभे की ऊँचाई = 20
खंभे की ऊँचाई = 20 / 2
खंभे की ऊँचाई = 10 मीटर

निष्कर्ष:
अतः खंभे की ऊँचाई 10 मीटर है।

Q2. (लघु) यदि एक मीनार की छाया की लंबाई उसकी ऊँचाई के बराबर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण (Angle of Elevation) क्या होगा?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. माना मीनार की ऊँचाई = h
छाया की लंबाई भी = h (क्योंकि दोनों बराबर हैं)

2. tan θ = लंब / आधार
tan θ = ऊँचाई / छाया
tan θ = h / h
tan θ = 1

3. हम जानते हैं कि tan 45° का मान 1 होता है।
इसलिए θ = 45°

निष्कर्ष:
अतः सूर्य का उन्नयन कोण 45° है।

Q3. (लघु) जमीन के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु (Base) से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. आधार (दूरी) = 30 मीटर
कोण = 30°
ऊँचाई (लंब) = ?

2. tan 30° = लंब / आधार
1/√3 = ऊँचाई / 30

3. ऊँचाई = 30 / √3

4. नीचे से रूट हटाने के लिए √3 से ऊपर-नीचे गुणा करें:
= (30√3) / 3
= 10√3 मीटर

निष्कर्ष:
अतः मीनार की ऊँचाई 10√3 मीटर है।

Q4. (लघु) भूमि से 60 मीटर की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग की डोरी भूमि के एक बिंदु से बंधी है और झुकाव 60° है। डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. ऊँचाई (लंब) = 60 मीटर
डोरी की लंबाई (कर्ण) = ?
कोण = 60°

2. sin 60° = लंब / कर्ण
√3 / 2 = 60 / डोरी

3. तिरछा गुणा करें:
√3 × डोरी = 120
डोरी = 120 / √3

4. परिमेयकरण (Rationalization) करें:
= (120√3) / 3
= 40√3 मीटर

निष्कर्ष:
अतः डोरी की लंबाई 40√3 मीटर है।

Q5. (लघु) एक 6 मीटर ऊँचे खंभे की छाया पृथ्वी पर 2√3 मीटर लंबी है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. लंब (खंभा) = 6 मीटर
आधार (छाया) = 2√3 मीटर

2. tan θ = लंब / आधार
tan θ = 6 / 2√3
tan θ = 3 / √3

3. 3 को हम (√3 × √3) लिख सकते हैं。
tan θ = (√3 × √3) / √3
tan θ = √3

4. हम जानते हैं tan 60° = √3 होता है。
अतः कोण = 60°

Q6. (लघु) एक मीनार के शिखर से देखने पर जमीन पर खड़ी एक कार का अवनमन कोण (Angle of Depression) 30° है। यदि मीनार की ऊँचाई 50 मीटर है, तो कार मीनार से कितनी दूर है?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. अवनमन कोण = उन्नयन कोण = 30° (एकांतर कोण नियम से)।
लंब (ऊँचाई) = 50 मीटर
आधार (दूरी) = ?

2. tan 30° = लंब / आधार
1 / √3 = 50 / दूरी

3. तिरछा गुणा करें:
दूरी = 50√3 मीटर

निष्कर्ष:
अतः कार 50√3 मीटर दूर है。

Q7. (लघु) आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और उसका शिखर जमीन को छूने लगता है। जहाँ शिखर जमीन को छूता है, वहाँ पेड़ की जड़ से दूरी 8 मीटर है और कोण 30° है। पेड़ की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. पेड़ दो भागों में है: खड़ा भाग (लंब) और टूटा हुआ भाग (कर्ण)।
आधार = 8 मीटर, कोण = 30°

2. खड़ा भाग (P) निकालने के लिए:
tan 30° = P / 8
1/√3 = P / 8 ⇒ P = 8/√3

3. टूटा हुआ भाग (H) निकालने के लिए:
cos 30° = आधार / H
√3/2 = 8 / H
H√3 = 16 ⇒ H = 16/√3

4. कुल ऊँचाई = P + H
= 8/√3 + 16/√3
= 24/√3

5. रूट हटाने के लिए:
= (24√3) / 3
= 8√3 मीटर

निष्कर्ष:
अतः पेड़ की कुल ऊँचाई 8√3 मीटर थी。

Q8. (दीर्घ) एक 7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसके पाद (Foot) का अवनमन कोण 45° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. भवन की ऊँचाई = 7 मीटर。
सबसे पहले, अवनमन कोण 45° की मदद से आधार (भवन और टावर के बीच की दूरी) निकालते हैं。

2. त्रिभुज 1 (नीचे वाला):
tan 45° = लंब / आधार
1 = 7 / आधार
आधार = 7 मीटर

3. अब ऊपर वाला त्रिभुज देखिए (टावर का ऊपरी हिस्सा h मान लेते हैं):
टावर भवन से 7 मीटर दूर है, तो ऊपर वाले त्रिभुज का आधार भी 7 होगा。
कोण = 60°

4. tan 60° = h / 7
√3 = h / 7
h = 7√3

5. टावर की कुल ऊँचाई = नीचे का 7 + ऊपर का 7√3
= 7(1 + √3) मीटर

निष्कर्ष:
अतः टावर की ऊँचाई 7(1 + √3) मीटर है。

Q9. (दीर्घ) एक पेडेस्टल के शिखर पर 1.6 मीटर ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडेस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडेस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. माना पेडेस्टल की ऊँचाई = h
मूर्ति की ऊँचाई = 1.6
कुल ऊँचाई = h + 1.6
आधार = x

2. छोटे त्रिभुज (पेडेस्टल) के लिए:
tan 45° = h / x
1 = h / x ⇒ x = h (समीकरण 1)

3. बड़े त्रिभुज (पूरी मूर्ति) के लिए:
tan 60° = (h + 1.6) / x
√3 = (h + 1.6) / h (क्योंकि x = h है)
h√3 = h + 1.6
h√3 - h = 1.6
h(√3 - 1) = 1.6
h = 1.6 / (√3 - 1)

4. परिमेयकरण करने पर:
h = 1.6(√3 + 1) / (3 - 1)
h = 1.6(√3 + 1) / 2
h = 0.8(√3 + 1) मीटर

निष्कर्ष:
अतः पेडेस्टल की ऊँचाई 0.8(√3 + 1) मीटर है。

Q10. (दीर्घ) एक सीधा राजमार्ग (Highway) एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है। कार मीनार की ओर एक समान चाल से आ रही है। 6 सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो जाता है। इस बिंदु से मीनार तक पहुँचने में कार को कितना समय और लगेगा?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. माना मीनार की ऊँचाई = h
कार पहले बिंदु A पर थी, फिर B पर आई。

2. बिंदु B (पास वाला, 60° कोण):
tan 60° = h / BC
√3 = h / BC ⇒ h = BC√3 (समीकरण 1)

3. बिंदु A (दूर वाला, 30° कोण):
tan 30° = h / (AB + BC)
1/√3 = h / AC
h = AC / √3

4. दोनों h बराबर हैं, तो:
BC√3 = AC / √3
3BC = AC
यानी पूरी दूरी (AC), पास वाली दूरी (BC) की 3 गुना है。
इसका मतलब AB दूरी = 2BC है (क्योंकि AC = AB + BC)。

5. AB दूरी तय करने में लगा समय = 6 सेकंड
2BC दूरी तय करने में लगा समय = 6 सेकंड
तो BC दूरी तय करने में लगेगा = 6 / 2 = 3 सेकंड

निष्कर्ष:
अतः कार को मीनार तक पहुँचने में 3 सेकंड और लगेंगे。

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

⏳ 50:00

0 / 50

Q1. यदि एक खंभे की ऊँचाई और उसकी छाया की लंबाई समान हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण (Angle of Elevation) क्या होगा?

30° 45° 60° 90°

उत्तर:
व्याख्या: जब लंब (Height) और आधार (Shadow) बराबर हों, तो tan θ = 1 होता है। और tan 45° का मान 1 होता है।

Q2. एक पतंग की डोरी 100 मीटर लंबी है और यह क्षैतिज तल से 60° का कोण बनाती है। पतंग की ऊँचाई क्या है? (डोरी सीधी मान ली जाए)

50√3 m 100√3 m 50 m 100/√3 m

उत्तर:
व्याख्या: हमें कर्ण (100) पता है और लंब (h) निकालना है। sin 60° = h/100 ⇒ √3/2 = h/100 ⇒ h = 50√3।

Q3. दृष्टि रेखा (Line of Sight) और क्षैतिज रेखा के बीच बनने वाला कोण, जब वस्तु आँख से ऊपर हो, क्या कहलाता है?

अवनमन कोण उन्नयन कोण समकोण सरल कोण

उत्तर:
व्याख्या: जब हम 'ऊपर' (Unnayan - Upar) देखते हैं, तो उन्नयन कोण (Angle of Elevation) बनता है।

Q4. एक मीनार की ऊँचाई 100√3 मीटर है और उसके आधार से 100 मीटर की दूरी पर स्थित बिंदु से चोटी का उन्नयन कोण क्या होगा?

30° 45° 60° 90°

उत्तर:
व्याख्या: tan θ = लंब/आधार = 100√3 / 100 = √3। और tan में √3 मान 60° का होता है।

Q5. यदि सूर्य का उन्नयन कोण 60° है, तो 30 मीटर लंबी छाया बनाने वाले मीनार की ऊँचाई क्या होगी?

30√3 m 15 m 30/√3 m 15√3 m

उत्तर:
व्याख्या: tan 60° = h/30 ⇒ √3 = h/30 ⇒ h = 30√3 मीटर।

Q6. एक 6 मीटर ऊँचे खंभे की छाया पृथ्वी पर 2√3 मीटर लंबी है, तो सूर्य का उन्नयन कोण है:

60° 45° 30° 75°

उत्तर:
व्याख्या: tan θ = 6 / 2√3 = 3/√3 = √3। यानी 60°।

Q7. जब हम अपनी आँख से नीचे की ओर किसी वस्तु को देखते हैं, तो कौन सा कोण बनता है?

उन्नयन कोण अवनमन कोण समकोण अधिक कोण

उत्तर:
व्याख्या: नीचे देखने पर आँखों को 'नमन' करना पड़ता है, इसलिए इसे 'अवनमन कोण' (Angle of Depression) कहते हैं।

Q8. एक सीढ़ी दीवार के सहारे ऐसे खड़ी है कि वह जमीन के साथ 60° का कोण बनाती है। यदि सीढ़ी का पाद (Foot) दीवार से 2 मीटर दूर है, तो सीढ़ी की लंबाई क्या है?

2 मीटर 3 मीटर 4 मीटर 5 मीटर

उत्तर:
व्याख्या: आधार=2, कर्ण(सीढ़ी)=?। cos 60° = आधार/कर्ण ⇒ 1/2 = 2/कर्ण ⇒ कर्ण = 4 मीटर।

Q9. एक 12 मीटर ऊँचे खंभे की जमीन पर छाया की लंबाई 4√3 मीटर है। सूर्य का उन्नयन कोण क्या है?

60° 45° 30° 90°

उत्तर:
व्याख्या: tan θ = 12 / 4√3 = 3/√3 = √3। यह मान 60° का है।

Q10. किसी टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण, उसके पाद से 30 मीटर की दूरी पर 30° है। टावर की ऊँचाई है:

10√3 m 10 m 30√3 m 15 m

उत्तर:
व्याख्या: tan 30° = h/30 ⇒ 1/√3 = h/30 ⇒ h = 30/√3 = 10√3 मीटर।

Q11. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 मीटर है। पेड़ की कुल ऊँचाई ज्ञात करें।

8√3 m 16√3 m 24 m 8/√3 m

उत्तर:
व्याख्या: यह NCERT का प्रसिद्ध प्रश्न है। टूटा भाग (कर्ण) और खड़ा भाग (लंब) जोड़ना है। उत्तर 8√3 मीटर आता है।

Q12. क्षैतिज तल पर स्थित किसी वस्तु को देखने के लिए क्षैतिज रेखा (Horizontal Line) से आँख को जितना ऊपर उठाना पड़ता है, वह कोण क्या कहलाता है?

उन्नयन कोण अवनमन कोण परिकेंद्र इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: आँख को 'ऊपर' उठाना मतलब उन्नयन कोण।

Q13. एक मीनार की चोटी का उन्नयन कोण उस मीनार के आधार से क्षैतिज तल पर 40 मीटर दूरी पर स्थित बिंदु से 45° है। मीनार की ऊँचाई क्या है?

20 m 40 m 40√2 m 80 m

उत्तर:
व्याख्या: जब कोण 45° हो, तो ऊँचाई और आधार की दूरी बराबर होती है। दूरी 40, तो ऊँचाई भी 40।

Q14. एक 30 मीटर लंबी सीढ़ी 15 मीटर ऊँची दीवार के सहारे खड़ी है। सीढ़ी का उन्नयन कोण क्या होगा?

30° 45° 60° 90°

उत्तर:
व्याख्या: लंब=15, कर्ण=30। sin θ = 15/30 = 1/2। sin में 1/2 मान 30° का होता है।

Q15. यदि h मीटर ऊँचे खंभे की छाया √3h मीटर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण क्या है?

30° 45° 60° 75°

उत्तर:
व्याख्या: tan θ = h / (√3h) = 1/√3। और यह मान 30° का होता है।

Q16. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई है:

10√3 m 10 m 30 m 20√3 m

उत्तर:
व्याख्या: tan 30° = h/30 ⇒ 1/√3 = h/30 ⇒ h = 10√3 मीटर।

Q17. एक गुब्बारा जो जमीन से 200 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है, उसका धागा जमीन के साथ 45° का कोण बनाता है। धागे की लंबाई क्या होगी?

200 m 200√2 m 100 m 400 m

उत्तर:
व्याख्या: लंब=200, कोण=45°। sin 45° = 200/कर्ण ⇒ 1/√2 = 200/कर्ण ⇒ कर्ण = 200√2।

Q18. यदि एक मीनार की छाया उसकी लंबाई की √3 गुनी है, तो उन्नयन कोण क्या है?

60° 45° 30° 90°

उत्तर:
व्याख्या: tan θ = लंब / (√3 × लंब) = 1/√3। तो कोण 30° होगा।

Q19. किसी खंभे के शीर्ष से जमीन पर स्थित किसी बिंदु का अवनमन कोण 30° है। यदि खंभे की ऊँचाई 50 मीटर है, तो बिंदु की खंभे से दूरी क्या है?

50 m 50√3 m 50/√3 m 25 m

उत्तर:
व्याख्या: अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है (एकांतर कोण)। tan 30° = 50/x ⇒ 1/√3 = 50/x ⇒ x = 50√3।

Q20. उन्नयन कोण और अवनमन कोण आपस में कैसे होते हैं?

हमेशा समान हमेशा असमान एक दूसरे के पूरक इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: क्षैतिज रेखाएं समांतर होती हैं, इसलिए एकांतर कोण नियम से उन्नयन और अवनमन कोण का मान बराबर होता है।

Q21. एक सर्कस का कलाकार 20 मीटर लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधी हुई है। यदि डोर भूमि स्तर के साथ 30° का कोण बनाती है, तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

10 m 20 m 10√3 m 5 m

उत्तर:
व्याख्या: कर्ण (डोर) = 20, ऊँचाई (लंब) = h। sin 30° = h/20 ⇒ 1/2 = h/20 ⇒ h = 10 मीटर।

Q22. यदि एक ऊर्ध्वाधर छड़ (Vertical Rod) की लंबाई उसकी छाया की लंबाई के बराबर हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण क्या होगा?

30° 45° 60° 90°

उत्तर:
व्याख्या: लंब = आधार, तो tan θ = 1, इसलिए θ = 45°।

Q23. एक पहाड़ की चोटी से एक टावर के पाद का अवनमन कोण 60° है। यदि पहाड़ की ऊँचाई 90 मीटर है, तो टावर की पहाड़ से दूरी क्या है?

30√3 m 45 m 90√3 m 30 m

उत्तर:
व्याख्या: tan 60° = 90/x ⇒ √3 = 90/x ⇒ x = 90/√3 = 30√3 मीटर।

Q24. सूर्य का उन्नयन कोण जब किसी सीधे खड़े खंभे की छाया और उसकी ऊँचाई का अनुपात √3:1 हो, तो होगा:

30° 45° 60° 75°

उत्तर:
व्याख्या: tan θ = ऊँचाई / छाया = 1 / √3। (ध्यान दें: प्रश्न में छाया:ऊँचाई = √3:1 दिया है, तो ऊँचाई:छाया = 1:√3 होगा)। tan θ = 1/√3 मतलब 30°।

Q25. एक टेलीफोन स्तंभ की ऊँचाई और उसकी छाया की लंबाई का अनुपात 1:√3 है। प्रकाश स्रोत का उन्नयन कोण है:

30° 45° 60° 90°

उत्तर:
व्याख्या: tan θ = ऊँचाई/छाया = 1/√3। यह मान 30° का होता है।

Q26. एक 50 मीटर ऊँची मीनार के आधार से 50√3 मीटर दूर स्थित बिंदु पर चोटी का उन्नयन कोण क्या होगा?

30° 60° 45° 90°

उत्तर:
व्याख्या: tan θ = 50 / 50√3 = 1/√3। यानी 30°।

Q27. यदि एक मीनार की छाया की लंबाई उसकी ऊँचाई की 1/√3 गुनी है, तो उन्नयन कोण है:

30° 45° 60° 75°

उत्तर:
व्याख्या: छाया = h/√3। tan θ = h / (h/√3) = √3। और tan 60° = √3 होता है।

Q28. समुद्र तल से 75 मीटर ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो, तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी क्या है?

75(√3 - 1) m 75(√3 + 1) m 75√3 m 75 m

उत्तर:
व्याख्या: यह एक मानक प्रश्न है। दूरी = h(cot 30° - cot 45°) = 75(√3 - 1)।

Q29. 25 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर से एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण, उसके पाद के अवनमन कोण के बराबर है। मीनार की ऊँचाई क्या है?

25 m 50 m 75 m 100 m

उत्तर:
व्याख्या: यदि उन्नयन और अवनमन कोण बराबर हैं (यहाँ संदर्भ यह है कि इमारत मीनार के आधी ऊँचाई पर है या ज्यामिति से), तो मीनार की ऊँचाई इमारत की दुगनी होती है। 25 × 2 = 50 मीटर।

Q30. उन्नयन कोण को और किस नाम से जाना जाता है?

उन्नति कोण (Angle of Altitude) अवनति कोण नमन कोण इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: उन्नयन कोण को कभी-कभी 'उन्नतांश' या 'उन्नति कोण' भी कहा जाता है।

Q31. एक पतंग जमीन से 75 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रही है। डोरी का झुकाव 60° है। डोरी की लंबाई है:

50√3 m 75√3 m 150/√3 m 150 m

उत्तर:
व्याख्या: sin 60° = 75/l ⇒ √3/2 = 75/l ⇒ l = 150/√3 ⇒ 50√3 मीटर।

Q32. यदि एक 1.5 मीटर लंबा प्रेक्षक (Observer) एक चिमनी से 28.5 मीटर दूर है और उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण 45° है, तो चिमनी की ऊँचाई क्या है?

28.5 m 30 m 27 m 31.5 m

उत्तर:
व्याख्या: 45° पर आधार और लंब बराबर होते हैं। लंब = 28.5। कुल ऊँचाई = लंब + प्रेक्षक की ऊँचाई = 28.5 + 1.5 = 30 मीटर।

Q33. एक मीनार के पाद से 15 मीटर दूर स्थित बिंदु से शिखर का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई है:

15 m 15√3 m 15/√3 m 30 m

उत्तर:
व्याख्या: tan 60° = h/15 ⇒ √3 = h/15 ⇒ h = 15√3 मीटर।

Q34. जैसे-जैसे हम किसी मीनार की ओर बढ़ते हैं, उसका उन्नयन कोण:

घटता है बढ़ता है स्थिर रहता है पहले घटता है फिर बढ़ता है

उत्तर:
व्याख्या: पास जाने पर हमें गर्दन ज्यादा ऊपर उठानी पड़ती है, इसलिए कोण 'बढ़ता' है।

Q35. एक हवाई जहाज जमीन से 3000 मीटर ऊपर उड़ रहा है। उस समय एक बिंदु से उसका उन्नयन कोण 60° है। कुछ सेकंड बाद वह कोण 45° हो जाता है। इसका अर्थ है:

जहाज पास आ रहा है जहाज दूर जा रहा है जहाज स्थिर है कुछ कहा नहीं जा सकता

उत्तर:
व्याख्या: कोण 60° से घटकर 45° हो गया। कोण घटने का मतलब वस्तु दूर जा रही है।

Q36. 100 मीटर चौड़ी नदी के बीच में एक छोटा टापू है और उस पर एक पेड़ है। नदी के विपरीत किनारों पर दो बिंदु P और Q हैं और वे पेड़ के साथ एक रेखा में हैं। यदि P और Q से पेड़ की चोटी के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 45° हों, तो पेड़ की ऊँचाई है:

50(√3-1) m 50 m 100√3 m 100(√3-1) m

उत्तर:
व्याख्या: h cot 30° + h cot 45° = 100 ⇒ h(√3 + 1) = 100 ⇒ h = 100/(√3+1)। परिमेयकरण करने पर 50(√3-1)।

Q37. एक दीवार के साथ लगी सीढ़ी का उन्नयन कोण 60° है और सीढ़ी की लंबाई 12 मीटर है। दीवार से सीढ़ी के पाद की दूरी क्या है?

6 m 12 m 6√3 m 4 m

उत्तर:
व्याख्या: cos 60° = आधार/कर्ण ⇒ 1/2 = x/12 ⇒ x = 6 मीटर।

Q38. यदि सूर्य का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है, तो मीनार की छाया की लंबाई:

बढ़ जाएगी घट जाएगी समान रहेगी दुगनी हो जाएगी

उत्तर:
व्याख्या: जब सूर्य ऊपर चढ़ता है (कोण बढ़ता है), तो छाया छोटी (घट) हो जाती है।

Q39. ऊँचाई और दूरी के प्रश्नों को हल करने के लिए मुख्य रूप से किस त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग होता है?

sin और cos केवल cos tan और cot cosec और sec

उत्तर:
व्याख्या: ऊँचाई (लंब) और दूरी (आधार) का संबंध tan θ में होता है, इसलिए यह सबसे ज्यादा इस्तेमाल होता है।

Q40. एक 1.6 मीटर लंबा लड़का 30 मीटर ऊँची इमारत से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह इमारत की ओर चलता है तो उसकी आँखों से इमारत के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। उसने कितनी दूरी तय की?

(56.8√3)/3 m 10√3 m 19/√3 m 20 m

उत्तर:
व्याख्या: प्रभावी ऊँचाई = 30 − 1.6 = 28.4 मीटर।
दूरी = h(cot 30° − cot 60°) = 28.4(√3 − 1/√3) = 28.4 × (2/√3)
= 56.8/√3 = (56.8√3)/3 ≈ 32.8 मीटर।

Q41. सूर्य का उन्नयन कोण 45° है। यदि एक मीनार की छाया 20 मीटर है, तो मीनार की ऊँचाई क्या होगी?

20 m 10 m 20√3 m 40 m

उत्तर:
व्याख्या: 45° पर ऊँचाई और छाया बराबर होती है। 20 मीटर।

Q42. एक पुल पर बैठे आदमी को नदी में नाव का अवनमन कोण 45° दिखता है। यदि पुल की ऊँचाई 15 मीटर है, तो नाव की पुल के आधार से दूरी क्या है?

10 m 15 m 30 m 15√3 m

उत्तर:
व्याख्या: tan 45° = ऊँचाई/दूरी = 1। इसलिए ऊँचाई = दूरी = 15 मीटर।

Q43. किसी समय सूर्य का उन्नतांश (Altitude) 60° है। उसी समय एक ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया 100 मीटर लंबी है। खंभे की ऊँचाई कितनी है?

100√3 m 100 m 100/√3 m 50 m

उत्तर:
व्याख्या: h/100 = tan 60° = √3 ⇒ h = 100√3।

Q44. उन्नयन कोण और अवनमन कोण तभी बनते हैं जब:

दृष्टि रेखा क्षैतिज रेखा के समांतर हो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच कोई कोण हो वस्तु आँख के ठीक सामने हो इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जब हम सीधा न देखकर ऊपर या नीचे देखते हैं (कोण बनाते हैं), तभी ये कोण बनते हैं।

Q45. एक 10 मीटर ऊँची मीनार के शिखर से पृथ्वी पर एक बिंदु का अवनमन कोण 30° है। बिंदु की मीनार के पाद से दूरी है:

10√3 m 10 m 30 m 10/√3 m

उत्तर:
व्याख्या: tan 30° = 10/x ⇒ 1/√3 = 10/x ⇒ x = 10√3 मीटर।

Q46. एक मीनार के पाद से 20 मीटर दूर स्थित बिंदु से शिखर का उन्नयन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई है:

20 m 10 m 30 m 40 m

उत्तर:
व्याख्या: 45° पर लंब और आधार बराबर होते हैं। उत्तर 20 मीटर।

Q47. यदि किसी मीनार की ऊँचाई दुगनी कर दी जाए और छाया की लंबाई वही रहे, तो उन्नयन कोण:

वही रहेगा बढ़ जाएगा घट जाएगा आधा हो जाएगा

उत्तर:
व्याख्या: tan θ = लंब/आधार। यदि लंब (ऊँचाई) बढ़ेगा तो tan θ का मान बढ़ेगा, मतलब कोण भी बढ़ेगा।

Q48. एक ध्वजदंड (Flagstaff) एक टावर के ऊपर खड़ा है। टावर की ऊँचाई 20 मीटर है। जमीन पर एक बिंदु से टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° और ध्वजदंड के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। ध्वजदंड की ऊँचाई क्या है?

20(√3-1) m 20√3 m 20 m 10 m

उत्तर:
व्याख्या: टावर 20m (45° पर आधार भी 20m)। ध्वज के साथ कुल ऊँचाई H, तो tan 60 = H/20 ⇒ H = 20√3। ध्वज = कुल - टावर = 20√3 - 20 = 20(√3-1)।

Q49. एक खंभे की परछाई की लंबाई उसकी ऊँचाई के बराबर होने पर उन्नयन कोण 45° होता है। यह कथन:

सत्य है असत्य है कभी-कभी सत्य कुछ कह नहीं सकते

उत्तर:
व्याख्या: यह बिल्कुल सत्य है क्योंकि tan 45° = 1 होता है।

Q50. 30 मीटर लंबी सीढ़ी एक दीवार तक पहुँचती है। सीढ़ी दीवार के साथ 30° का कोण बनाती है। दीवार की ऊँचाई क्या है? (ध्यान दें: कोण दीवार के साथ है)

15 m 15√3 m 30 m 10√3 m

उत्तर:
व्याख्या: अगर दीवार के साथ कोण 30° है, तो जमीन के साथ 60° होगा (90-30)। sin 60° = h/30 ⇒ √3/2 = h/30 ⇒ h = 15√3 मीटर।

🏆

📊 Test Result

0 / 50

Score: 0%

➡️ अगला अध्याय - 10: वृत्त (Circles)

➡️ Class 10 Maths All Chapters