कक्षा 10 गणित अध्याय 10 वृत्त – नोट्स, प्रश्न उत्तर, MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 10 Circles Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

📜 परिचय (Introduction)

वृत्त एक तल पर उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी (त्रिज्या) पर होते हैं। इस अध्याय में हम मुख्य रूप से 'स्पर्श रेखा' (Tangent) और उसके गुणों का अध्ययन करेंगे।

1. स्पर्श रेखा और छेदक रेखा

1. छेदक रेखा (Secant): वह रेखा जो वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है। (जैसे हरे रंग की रेखा)

2. स्पर्श रेखा (Tangent): वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है। (जैसे नीले रंग की रेखा)

3. स्पर्श बिंदु (Point of Contact): वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को छूती है। (बिंदु P)

2. प्रमेय 10.1 (त्रिज्या-स्पर्श रेखा संबंध)

प्रमेय:
वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब (Perpendicular) होती है।

OP ⊥ XY (अर्थात ∠OPY = 90°)

उदाहरण 1:
एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm है और केंद्र से Q की दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।

हल:
1. यहाँ एक समकोण त्रिभुज बनेगा (क्योंकि त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब है)।
2. कर्ण (OQ) = 25 cm, आधार (PQ) = 24 cm, लंब (r) = ?
3. पाइथागोरस प्रमेय से:
OQ² = OP² + PQ²
(25)² = r² + (24)²
625 = r² + 576
r² = 625 - 576 = 49
r = √49 = 7 cm

3. प्रमेय 10.2 (बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ)

प्रमेय:
बाह्य बिंदु (External Point) से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

यदि T बाहरी बिंदु है और TP, TQ स्पर्श रेखाएँ हैं, तो
TP = TQ

उदाहरण 2:
यदि TP और TQ केंद्र O वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110° है, तो ∠PTQ ज्ञात करें।

हल:
1. हम जानते हैं कि त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण 90° होता है।
(∠OPT = 90° और ∠OQT = 90°)
2. चतुर्भुज POQT में चारों कोणों का योग 360° होता है।
∠POQ + ∠OPT + ∠OQT + ∠PTQ = 360°
110° + 90° + 90° + ∠PTQ = 360°
290° + ∠PTQ = 360°
∠PTQ = 360° - 290° = 70°

4. महत्वपूर्ण तथ्य (Key Facts)

• 🔸 एक वृत्त पर असंख्य (Infinite) स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
• 🔸 वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।
• 🔸 वृत्त के बाहर स्थित बिंदु से वृत्त पर केवल 2 स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
• 🔸 स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच हमेशा 90° का कोण बनता है।

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 🛡️ प्रमेय 10.2 (बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखा): यह प्रमेय बोर्ड परीक्षा में 3 या 4 नंबर में सिद्ध करने के लिए अक्सर आती है। इसमें RHS सर्वांगसमता का प्रयोग होता है। इसे रट लें।
• 📐 90° का नियम: याद रखें, त्रिज्या और स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु पर बना कोण हमेशा 90° (समकोण) होता है। अधिकतर गणना वाले प्रश्न इसी पाइथागोरस प्रमेय (H² = P² + B²) से हल होते हैं।
• 🤝 चक्रीय चतुर्भुज: यदि वृत्त के चारों ओर एक चतुर्भुज बना हो (Circumscribing Quadrilateral), तो उसकी आमने-सामने की भुजाओं का योग बराबर होता है (AB + CD = AD + BC)। यह एक बहुत महत्वपूर्ण परिणाम है।
• ⭕ संपूरक कोण: स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और केंद्र पर त्रिज्याओं द्वारा बना कोण संपूरक (Supplementary, योग = 180°) होते हैं। (∠PTQ + ∠POQ = 180°)।

"स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है (PA = PB) - इस गुण का प्रयोग ज्यामिति के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में सबसे अधिक होता है।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Self Test)

(नीचे दिए गए प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जांचें)

Q1. (लघु) एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी है और केंद्र से Q की दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. हम जानते हैं कि वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब (90°) होती है。
यहाँ एक समकोण त्रिभुज बनेगा。
कर्ण (केंद्र से दूरी) = 25 सेमी
आधार (स्पर्श रेखा) = 24 सेमी
लंब (त्रिज्या) = ?

2. पाइथागोरस प्रमेय से:
(त्रिज्या)² + (24)² = (25)²
(त्रिज्या)² + 576 = 625
(त्रिज्या)² = 625 - 576
(त्रिज्या)² = 49
त्रिज्या = 7 सेमी

निष्कर्ष:
अतः वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है。

Q2. (लघु) यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले वृत्त पर PA और PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हों, तो कोण POA का मान ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कुल कोण 80° है。
केंद्र को बिंदु P से मिलाने वाली रेखा इस कोण को आधा (Samdvibhajit) करती है。
इसलिए, कोण APO = 80° / 2 = 40°

2. त्रिभुज OAP में:
कोण OAP = 90° (त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण)
कोण APO = 40°

3. तीनों कोणों का योग 180° होता है。
कोण POA + 90° + 40° = 180°
कोण POA + 130° = 180°
कोण POA = 180° - 130°
कोण POA = 50°

निष्कर्ष:
अतः कोण POA का मान 50° है。

Q3. (लघु) 5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. OP (त्रिज्या) = 5 सेमी
OQ (केंद्र से दूरी) = 12 सेमी
PQ (स्पर्श रेखा) = ?
कोण P = 90° (क्योंकि त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है)

2. पाइथागोरस प्रमेय से:
OP² + PQ² = OQ²
(5)² + PQ² = (12)²
25 + PQ² = 144
PQ² = 144 - 25
PQ² = 119
PQ = √119 सेमी

निष्कर्ष:
अतः PQ की लंबाई √119 सेमी है。

Q4. (लघु) यदि TP और TQ केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि कोण POQ = 110° है, तो कोण PTQ ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. चतुर्भुज POQT में चारों कोणों का योग 360° होता है。
स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच के कोण (P और Q) 90°-90° होते हैं。

2. इसलिए, केंद्र वाला कोण (POQ) और बाहर वाला कोण (PTQ) मिलकर 180° बनाते हैं (संपूरक होते हैं)।
कोण PTQ + कोण POQ = 180°
कोण PTQ + 110° = 180°
कोण PTQ = 180° - 110°
कोण PTQ = 70°

निष्कर्ष:
अतः कोण PTQ बराबर 70° है。

Q5. (लघु) एक चतुर्भुज ABCD एक वृत्त के परिगत (बाहर) खींचा गया है। यदि AB = 6 सेमी, BC = 9 सेमी और CD = 8 सेमी है, तो AD की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. वृत्त के बाहर बने चतुर्भुज का एक खास नियम होता है:
आमने-सामने की भुजाओं का योग बराबर होता है。
AB + CD = AD + BC

2. मान रखने पर:
6 + 8 = AD + 9
14 = AD + 9
AD = 14 - 9
AD = 5 सेमी

निष्कर्ष:
अतः AD की लंबाई 5 सेमी है。

Q6. (लघु) एक वृत्त की त्रिज्या 4.5 सेमी है। इसकी दो समांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हमेशा व्यास (Diameter) के दोनों सिरों पर होती हैं。
इसलिए उनके बीच की दूरी व्यास के बराबर होती है。

2. त्रिज्या = 4.5 सेमी
व्यास = 2 × त्रिज्या
व्यास = 2 × 4.5
व्यास = 9.0 सेमी

निष्कर्ष:
अतः दोनों रेखाओं के बीच की दूरी 9 सेमी है。

Q7. (लघु) बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयों में क्या संबंध होता है? (उत्तर एक वाक्य में दें और उदाहरण के लिए यदि एक 5 सेमी है तो दूसरी क्या होगी?)

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हल (कदम-दर-कदम):

1. किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं。
यदि एक स्पर्श रेखा 5 सेमी है, तो दूसरी भी 5 सेमी ही होगी。

Q8. (दीर्घ) दो संकेंद्रीय वृत्तों (Concentric Circles) की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा (Chord) की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. कल्पना करें कि छोटे वृत्त की त्रिज्या लंब (Perpendicular) है और बड़े वृत्त की त्रिज्या कर्ण (Hypotenuse) है。
जीवा, स्पर्श बिंदु पर आधी-आधी बँट जाती है。

2. बड़े वृत्त की त्रिज्या (कर्ण) = 5 सेमी
छोटे वृत्त की त्रिज्या (लंब) = 3 सेमी
जीवा का आधा भाग (आधार) = x

3. पाइथागोरस प्रमेय से:
x² + 3² = 5²
x² + 9 = 25
x² = 25 - 9
x² = 16
x = 4 सेमी

4. यह जीवा की आधी लंबाई है。
पूरी लंबाई = 4 + 4 = 8 सेमी。

निष्कर्ष:
अतः उस जीवा की लंबाई 8 सेमी है。

Q9. (दीर्घ) एक समकोण त्रिभुज ABC, जिसकी भुजाएँ 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी हैं, के अंदर एक वृत्त बना है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. यहाँ कर्ण (Hypotenuse) = 10 सेमी है (सबसे बड़ी भुजा)।
लंब = 6 सेमी और आधार = 8 सेमी。

2. समकोण त्रिभुज के अंदर बने वृत्त की त्रिज्या (r) निकालने का आसान सूत्र:
r = (लंब + आधार - कर्ण) / 2

3. मान रखने पर:
r = (6 + 8 - 10) / 2
r = (14 - 10) / 2
r = 4 / 2
r = 2

निष्कर्ष:
अतः वृत्त की त्रिज्या 2 सेमी है。

Q10. (दीर्घ) केंद्र O वाले वृत्त के बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है और केंद्र से P की दूरी 13 सेमी है, तो चतुर्भुज OAPB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. चतुर्भुज OAPB दो समान समकोण त्रिभुजों (OAP और OBP) से मिलकर बना है。
पहले स्पर्श रेखा PA की लंबाई निकालते हैं。
कर्ण = 13, त्रिज्या (लंब) = 5
PA² = 13² - 5²
PA² = 169 - 25 = 144
PA = 12 सेमी

2. अब त्रिभुज OAP का क्षेत्रफल:
= 1/2 × आधार × ऊँचाई
= 1/2 × PA × OA
= 1/2 × 12 × 5
= 6 × 5 = 30 वर्ग सेमी

3. चूँकि दो त्रिभुज हैं, तो पूरे चतुर्भुज का क्षेत्रफल:
= 2 × 30
= 60 वर्ग सेमी

निष्कर्ष:
अतः चतुर्भुज OAPB का क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी है。

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

⏳ 50:00

0 / 50

Q1. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा (Tangent) उसे कितने बिंदुओं पर स्पर्श करती है?

1 2 3 अनंत

उत्तर:
व्याख्या: स्पर्श रेखा (Tangent) बस 'छूकर' निकल जाती है। वह वृत्त को केवल एक ही जगह (बिंदु) पर टच करती है।

Q2. वृत्त के एक बिंदु पर कितनी स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं?

1 2 3 अनंत

उत्तर:
व्याख्या: अगर आप वृत्त के ऊपर एक बिंदी लगा दें, तो उस एक बिंदी से सिर्फ एक ही सीधी रेखा गुजर सकती है जो वृत्त को काटकर अंदर न जाए।

Q3. वृत्त के बाह्य बिंदु (Exterior Point) से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं?

1 2 3 0

उत्तर:
व्याख्या: बाहर खड़े होकर आप वृत्त को दो बांहों की तरह छू सकते हैं—एक ऊपर की तरफ और एक नीचे की तरफ। इसलिए 2 रेखाएं।

Q4. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा (Chord) को क्या कहते हैं?

चाप जीवा व्यास त्रिज्या

उत्तर:
व्याख्या: जो लाइन वृत्त के पेट (केंद्र) के बीचों-बीच से जाती है, वह सबसे लंबी होती है। उसे व्यास (Diameter) कहते हैं।

Q5. स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर क्या होती है?

समांतर लंब आधी दुगनी

उत्तर:
व्याख्या: त्रिज्या और स्पर्श रेखा हमेशा 90 डिग्री (L शेप) का कोण बनाते हैं। इसे 'लंब' कहते हैं।

Q6. बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ कैसी होती हैं?

समान असमान दुगनी आधी

उत्तर:
व्याख्या: बाहर से जो दो हाथ (रेखाएं) वृत्त को छूते हैं, उनकी लंबाई बिल्कुल बराबर (Equal) होती है।

Q7. एक वृत्त की कितनी समांतर स्पर्श रेखाएं हो सकती हैं?

1 2 4 अनंत

उत्तर:
व्याख्या: एक ऊपर और ठीक उसके सामने एक नीचे। एक साथ केवल 2 ही समांतर हो सकती हैं।

Q8. यदि दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श नहीं करते और दूर-दूर हैं, तो कितनी उभयनिष्ठ (Common) स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं?

2 3 4 1

उत्तर:
व्याख्या: दो ऊपर-नीचे सीधी, और दो कैंची की तरह क्रॉस करती हुई। कुल 4 रेखाएं।

Q9. यदि TP और TQ केंद्र O वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएं इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110° है, तो ∠PTQ किसके बराबर होगा?

60° 70° 80° 90°

उत्तर:
व्याख्या: आमने-सामने के कोणों का जोड़ 180° होता है। 180 - 110 = 70°।

Q10. एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी है और Q की केंद्र से दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या क्या है?

7 सेमी 12 सेमी 15 सेमी 24.5 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: पाइथागोरस प्रमेय लगेगा। कर्ण (25) सबसे बड़ा है। त्रिज्या = √(25² - 24²) = √(625 - 576) = √49 = 7।

Q11. वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को क्या कहते हैं?

स्पर्श रेखा छेदक रेखा त्रिज्या जीवा

उत्तर:
व्याख्या: जो रेखा वृत्त को आर-पार चीरकर (छेद कर) निकल जाए, उसे 'छेदक रेखा' (Secant) कहते हैं।

Q12. अर्द्धवृत्त (Semicircle) का कोण कितना होता है?

60° 90° 180° 360°

उत्तर:
व्याख्या: अर्द्धवृत्त में बना कोण हमेशा समकोण (90°) होता है।

Q13. दो संकेंद्रीय वृत्तों (Concentric Circles) की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई क्या होगी जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है?

8 सेमी 6 सेमी 4 सेमी 10 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: समकोण त्रिभुज बनेगा (कर्ण 5, लंब 3)। आधार = √(5²-3²) = √16 = 4। जीवा की लंबाई दुगनी होती है, तो 4 + 4 = 8 सेमी।

Q14. वृत्त के केंद्र पर बना कोण कितने डिग्री का होता है?

90° 180° 270° 360°

उत्तर:
व्याख्या: एक पूरा गोल चक्कर घूमने पर 360 डिग्री का कोण बनता है।

Q15. यदि किसी वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी 10 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या क्या है?

10 सेमी 5 सेमी 20 सेमी 2.5 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी 'व्यास' होती है। त्रिज्या व्यास की आधी होती है। 10 का आधा 5।

Q16. वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं?

1 2 अनंत 0

उत्तर:
व्याख्या: अंदर से आप दीवार (वृत्त) को छूकर बाहर नहीं निकल सकते बिना काटे। 'स्पर्श' रेखा बाहर से होती है, अंदर से कोई स्पर्श रेखा नहीं होती।

Q17. यदि एक चतुर्भुज ABCD एक वृत्त के चारों ओर (परिगत) खींचा गया है, तो AB + CD किसके बराबर होगा?

AC + BD AD + BC 2AB 2CD

उत्तर:
व्याख्या: आमने-सामने की भुजाओं का जोड़ बराबर होता है। AB (सामने) + CD (सामने) = AD (बगल) + BC (बगल)।

Q18. 6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 10 सेमी दूर स्थित बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई क्या होगी?

6 सेमी 8 सेमी 10 सेमी 12 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: पाइथागोरस त्रिक (6, 8, 10)। कर्ण 10 है, एक भुजा 6 है, तो दूसरी भुजा (स्पर्श रेखा) 8 होगी।

Q19. एक वृत्त की परिधि (Circumference) पर कितने बिंदु होते हैं?

100 1000 अनंत 360

उत्तर:
व्याख्या: एक गोला (वृत्त) अनगिनत छोटी-छोटी बिंदियों से मिलकर बनता है।

Q20. स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिंदु (Common Point) को क्या कहते हैं?

कटान बिंदु स्पर्श बिंदु केंद्र मूल बिंदु

उत्तर:
व्याख्या: जहाँ रेखा वृत्त को 'स्पर्श' करती है, उसे 'स्पर्श बिंदु' (Point of Contact) कहते हैं।

Q21. यदि दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्यतः (Externally) स्पर्श करते हैं, तो कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं होंगी?

1 2 3 4

उत्तर:
व्याख्या: दो ऊपर-नीचे और एक ठीक बीच में जहाँ वे चिपक रहे हैं। कुल 3 रेखाएं।

Q22. किसी वृत्त का व्यास (Diameter) उसकी त्रिज्या का कितना गुना होता है?

आधा दुगना तीन गुना बराबर

उत्तर:
व्याख्या: व्यास पूरा होता है, त्रिज्या आधी होती है। तो व्यास त्रिज्या का 'डबल' (दुगना) होता है।

Q23. यदि दो स्पर्श रेखाएं 60° के कोण पर झुकी हों और त्रिज्या 3 सेमी हो, तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई क्या होगी?

3 सेमी 6 सेमी 3√3 सेमी 3/√3 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: कोण आधा हो जाएगा (30°)। tan 30° = लंब(3)/आधार(x) ⇒ 1/√3 = 3/x ⇒ x = 3√3।

Q24. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा (Chord) किससे होकर गुजरती है?

स्पर्श बिंदु से केंद्र से कहीं से भी परिधि से

उत्तर:
व्याख्या: सबसे बड़ी जीवा 'व्यास' है और व्यास हमेशा 'केंद्र' (Center) से होकर जाता है।

Q25. यदि वृत्त का क्षेत्रफल 154 सेमी² है, तो उसकी परिधि क्या होगी?

22 सेमी 44 सेमी 66 सेमी 88 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: πr² = 154 ⇒ r² = 49 ⇒ r = 7। परिधि = 2πr = 2 × (22/7) × 7 = 44 सेमी।

Q26. चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral) के सम्मुख कोणों का योग कितना होता है?

90° 180° 360° 270°

उत्तर:
व्याख्या: चक्रीय चतुर्भुज (जिसके चारों कोने वृत्त पर हों) के आमने-सामने के कोण मिलकर 180° बनाते हैं।

Q27. यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो उस वृत्त की त्रिज्या क्या है?

2 मात्रक π मात्रक 4 मात्रक 7 मात्रक

उत्तर:
व्याख्या: 2πr = πr²। π से π कटा, r से एक r कटा। बचा r = 2।

Q28. किसी बाह्य बिंदु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 10 सेमी है। P से उसी वृत्त पर खींची गई दूसरी स्पर्श रेखा की लंबाई क्या होगी?

5 सेमी 10 सेमी 20 सेमी 15 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: एक ही बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएं हमेशा 'बराबर' होती हैं। अगर एक 10 है तो दूसरी भी 10 होगी।

Q29. एक वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएं हो सकती हैं?

1 2 अनंत 4

उत्तर:
व्याख्या: वृत्त पर अनगिनत बिंदु होते हैं, और हर बिंदु पर एक स्पर्श रेखा हो सकती है। इसलिए उत्तर 'अनंत' है।

Q30. यदि दो वृत्त एक-दूसरे को अंतः (Internally) स्पर्श करते हैं, तो कितनी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं होंगी?

1 2 3 4

उत्तर:
व्याख्या: जब एक वृत्त दूसरे के पेट के अंदर होकर उसे छूता है, तो केवल 1 ही बाहरी रेखा दोनों को एक साथ छू सकती है।

Q31. कोण θ वाले त्रिज्यखंड (Sector) का क्षेत्रफल क्या होता है?

(θ/360) × 2πr (θ/360) × πr² (θ/180) × πr² इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: पूरे पिज्जा (वृत्त) का क्षेत्रफल πr² है। हमें सिर्फ θ टुकड़े का चाहिए, इसलिए (θ/360) से गुणा करते हैं।

Q32. चाप की लंबाई (Length of Arc) का सूत्र क्या है?

(θ/360) × 2πr (θ/360) × πr² 2πr πr²

उत्तर:
व्याख्या: परिधि 2πr होती है। चाप परिधि का एक टुकड़ा है, इसलिए (θ/360) × 2πr।

Q33. एक घड़ी की मिनट की सुई द्वारा 1 मिनट में बनाया गया कोण कितना होता है?

1° 6° 12° 60°

उत्तर:
व्याख्या: 60 मिनट में 360 डिग्री घूमती है। तो 1 मिनट में 360/60 = 6 डिग्री।

Q34. दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात 4:9 है, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात क्या होगा?

4:9 2:3 16:81 8:27

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफल r² पर निर्भर करता है। अनुपात निकालने के लिए वर्गमूल (Root) निकालें। √4 = 2, √9 = 3।

Q35. एक पहिए का व्यास 40 सेमी है। 176 मीटर की दूरी तय करने में इसे कितने चक्कर लगाने होंगे?

140 150 160 100

उत्तर:
व्याख्या:
व्यास = 40 सेमी
एक चक्कर में चली दूरी (परिधि) = πd = (22/7) × 40 = 880/7 सेमी

कुल दूरी = 176 मीटर = 17600 सेमी

चक्करों की संख्या = कुल दूरी ÷ परिधि
= 17600 ÷ (880/7)
= 17600 × 7 / 880
= 20 × 7
= 140 चक्कर

Q36. वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को क्या करता है?

समद्विभाजित तीन गुना छोटा कुछ नहीं

उत्तर:
व्याख्या: केंद्र से जीवा पर गिरा लंब उसे दो बराबर टुकड़ों में तोड़ देता है (समद्विभाजित करता है)।

Q37. 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 8 सेमी लंबी जीवा की केंद्र से दूरी कितनी होगी?

4 सेमी 3 सेमी 5 सेमी 2 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: जीवा का आधा 4 हो गया। कर्ण 5 है। पाइथागोरस (3, 4, 5) से दूरी 3 सेमी होगी।

Q38. यदि दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 2:3 है, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात क्या होगा?

4:9 2:3 1:2 8:27

उत्तर:
व्याख्या: परिधि और त्रिज्या का अनुपात हमेशा समान (Same) होता है। 2:3 ही रहेगा।

Q39. वृत्त का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र क्या है?

2πr πr² πd r²

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफल (Area) हमेशा πr² होता है।

Q40. वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात क्या होता है?

π 2π r 1

उत्तर:
व्याख्या: परिधि (πd) को व्यास (d) से भाग देंगे, तो सिर्फ π बचेगा।

Q41. किसी वृत्त की त्रिज्या दुगनी कर दी जाए, तो क्षेत्रफल कितना गुना हो जाएगा?

2 गुना 3 गुना 4 गुना समान रहेगा

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफल में त्रिज्या का वर्ग (Square) होता है। 2 का स्क्वायर 4 होता है।

Q42. बाह्य स्पर्श करने वाले दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी क्या होती है?

त्रिज्याओं का अंतर त्रिज्याओं का योग व्यास का योग इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जब दो दोस्त (वृत्त) बाहर से हाथ मिलाते (छूते) हैं, तो उनके दिल (केंद्र) की दूरी उनकी बांहों (त्रिज्याओं) का जोड़ होती है। (R + r)।

Q43. एक वृत्त के चतुर्थांश (Quadrant) का कोण कितना होता है?

60° 90° 180° 45°

उत्तर:
व्याख्या: चतुर्थांश मतलब चौथा हिस्सा। 360 का चौथा हिस्सा 90 डिग्री होता है।

Q44. यदि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 8 सेमी और 6 सेमी हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसका क्षेत्रफल इन दोनों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है?

10 सेमी 14 सेमी 12 सेमी 48 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: पाइथागोरस जैसा नियम लगता है: √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10।

Q45. दीर्घ त्रिज्यखंड (Major Sector) का क्षेत्रफल निकालने के लिए क्या करते हैं?

वृत्त का क्षेत्रफल - लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल वृत्त का क्षेत्रफल + लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल लघु त्रिज्यखंड का आधा इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: पूरे वृत्त (पिज्जा) में से छोटा टुकड़ा (लघु) निकाल दो, तो बड़ा टुकड़ा (दीर्घ) बचता है।

Q46. एक वृत्त का व्यास 14 सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल क्या है?

154 सेमी² 44 सेमी² 144 सेमी² 14 सेमी²

उत्तर:
व्याख्या: व्यास 14 है तो त्रिज्या 7 होगी। क्षेत्रफल πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154।

Q47. त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण P° है, होगा:

(P/180) × 2πR (P/360) × πR² (P/180) × πR² (P/720) × 2πR²

उत्तर:
व्याख्या: सही सूत्र (कोण/360) × πR² है। कभी-कभी इसे ऊपर-नीचे 2 से गुणा करके (P/720) × 2πR² भी लिखते हैं। (विकल्प b सबसे सीधा है)।

Q48. एक वृत्त की कितनी त्रिज्याएं हो सकती हैं?

1 100 अनंत 2

उत्तर:
व्याख्या: केंद्र से परिधि तक आप जितनी चाहे उतनी लाइनें खींच सकते हैं।

Q49. किसी वृत्त का स्पर्श रेखा युग्म (Pair of Tangents) खींचने के लिए उन दोनों त्रिज्याओं के बीच का कोण क्या होना चाहिए, यदि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 60° है?

120° 60° 90° 100°

उत्तर:
व्याख्या: केंद्र का कोण और स्पर्श रेखाओं का कोण मिलकर 180° होता है। 180 - 60 = 120°।

Q50. वृत्त बनाने के लिए किस यंत्र का उपयोग होता है?

चाँदा (Protractor) स्केल (Ruler) परकार (Compass) डिवाइडर

उत्तर:
व्याख्या: गोल बनाने के लिए हम 'परकार' (Compass) का इस्तेमाल करते हैं जिसमें पेंसिल लगती है।

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