कक्षा 10 गणित अध्याय 7 निर्देशांक ज्यामिति – नोट्स, प्रश्न उत्तर व MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

📜 परिचय

निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) गणित की वह शाखा है जिसमें हम ज्यामितीय समस्याओं को बीजगणित (Algebra) के माध्यम से हल करते हैं। इसमें किसी बिंदु की स्थिति को दो संख्याओं (x, y) के जोड़े से दर्शाया जाता है।

• X-अक्ष (भुज): क्षैतिज रेखा (Horizontal Line)
• Y-अक्ष (कोटि): ऊर्ध्वाधर रेखा (Vertical Line)
• मूल बिंदु (Origin): जहाँ दोनों अक्ष मिलते हैं, निर्देशांक (0, 0) होते हैं।

1. चतुर्थांश (Quadrants)

कार्तीय तल (Cartesian Plane) को चार भागों में बाँटा गया है:

चतुर्थांश	चिन्ह (x, y)	उदाहरण
प्रथम (I)	(+, +)	(2, 3)
द्वितीय (II)	(-, +)	(-2, 3)
तृतीय (III)	(-, -)	(-2, -3)
चतुर्थ (IV)	(+, -)	(2, -3)

2. दूरी सूत्र (Distance Formula)

A. दो बिंदुओं P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी:

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

B. मूल बिंदु (0, 0) से दूरी:

d = √(x² + y²)

उदाहरण: बिंदु A(2, 3) और B(4, 1) के बीच की दूरी निकालें।
d = √[(4 - 2)² + (1 - 3)²]
d = √[(2)² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2 मात्रक

3. विभाजन सूत्र (Section Formula)

A. अंतः विभाजन (Internal Division):

उस बिंदु P(x, y) के निर्देशांक जो बिंदुओं A और B को m₁ : m₂ के अनुपात में बांटता है:

x = (m₁x₂ + m₂x₁) / (m₁ + m₂)

y = (m₁y₂ + m₂y₁) / (m₁ + m₂)

B. मध्य-बिंदु सूत्र (Mid-point Formula):

यदि अनुपात 1:1 हो (बिल्कुल बीच में):

x = (x₁ + x₂) / 2 , y = (y₁ + y₂) / 2

उदाहरण: (4, -3) और (8, 5) को 3:1 में बांटने वाले बिंदु के निर्देशांक:
x = (3×8 + 1×4) / 4 = 28/4 = 7
y = (3×5 + 1×(-3)) / 4 = 12/4 = 3
बिंदु: (7, 3)

4. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle)

यदि शीर्ष A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) और C(x₃, y₃) हों:

Area = 1/2 [ x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂) ]

💡 याद रखने की ट्रिक (Code):
y के लिए क्रम याद रखें: 123, 231, 312
1. x₁ (y₂ - y₃)
2. x₂ (y₃ - y₁)
3. x₃ (y₁ - y₂)

⚠️ संरेखी (Collinear) की शर्त:
यदि तीन बिंदु एक ही सीधी रेखा में हैं, तो उनसे कोई त्रिभुज नहीं बनेगा।
इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

उदाहरण: शीर्ष (1, -1), (-4, 6), (-3, -5) का क्षेत्रफल:
= 1/2 [ 1(6 - (-5)) + (-4)(-5 - (-1)) + (-3)(-1 - 6) ]
= 1/2 [ 11 + 16 + 21 ]
= 1/2 [ 48 ] = 24 वर्ग मात्रक

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 📏 दूरी सूत्र (1 अंक): मूल बिंदु (Origin) से किसी बिंदु (x, y) की दूरी सीधे √(x² + y²) होती है। लंबे सूत्र की जरूरत नहीं।
• ✂️ अनुपात (Ratio) k:1 मानें: जब भी प्रश्न पूछे "किस अनुपात में विभाजित करता है?", तो अनुपात को हमेशा k : 1 मानें। इससे गणना बहुत आसान हो जाती है और m₁:m₂ वाला बड़ा समीकरण नहीं बनाना पड़ता।
• 📐 संरेखी (Collinear) बिंदु: तीन बिंदु संरेखी (Collinear) हैं, यह सिद्ध करने का सबसे आसान तरीका है कि उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य (0) कर दें।
• 📍 अक्षों पर बिंदु:
  • यदि बिंदु X-अक्ष पर है, तो उसके निर्देशांक (x, 0) मानें।
  • यदि बिंदु Y-अक्ष पर है, तो उसके निर्देशांक (0, y) मानें।
• चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए उसे एक विकर्ण (Diagonal) खींचकर दो त्रिभुजों में बाँट दें और दोनों का क्षेत्रफल जोड़ दें।
• दूरी कभी ऋणात्मक (Negative) नहीं हो सकती। अगर रूट में -ve आए तो आपने गणना में गलती की है।

"अनुपात (Ratio) वाले सवालों में k:1 विधि का ही प्रयोग करें। त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र '123-231-312' कोड से याद रखें।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Self Test)

(नीचे दिए गए प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जांचें)

Q1. (लघु) बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. यहाँ दिए गए बिंदु हैं:
पहला बिंदु (x₁, y₁) = (2, 3)
दूसरा बिंदु (x₂, y₂) = (4, 1)

2. दूरी सूत्र का उपयोग करें:
दूरी = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

3. मान रखने पर:
= √[(4 - 2)² + (1 - 3)²]
= √[(2)² + (-2)²]
= √[4 + 4]
= √8

4. √8 को सरल करें:
√8 = √(4 × 2) = 2√2

निष्कर्ष:
अतः दूरी = 2√2 मात्रक।

Q2. (लघु) उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. विभाजन सूत्र का उपयोग करेंगे।
x₁ = -1, y₁ = 7
x₂ = 4, y₂ = -3
m₁ = 2, m₂ = 3

2. x का मान निकालें:
x = (m₁x₂ + m₂x₁) / (m₁ + m₂)
x = (2×4 + 3×(-1)) / (2 + 3)
x = (8 - 3) / 5
x = 5 / 5 = 1

3. y का मान निकालें:
y = (m₁y₂ + m₂y₁) / (m₁ + m₂)
y = (2×(-3) + 3×7) / (2 + 3)
y = (-6 + 21) / 5
y = 15 / 5 = 3

निष्कर्ष:
अतः उस बिंदु के निर्देशांक (1, 3) हैं।

Q3. (लघु) बिंदुओं (-5, 7) और (-1, 3) के बीच की दूरी क्या होगी?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. निर्देशांक पहचानें:
x₁ = -5, y₁ = 7
x₂ = -1, y₂ = 3

2. दूरी सूत्र में मान रखें:
दूरी = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
= √[(-1 - (-5))² + (3 - 7)²]
= √[(-1 + 5)² + (-4)²]
= √[(4)² + (-4)²]

3. गणना करें:
= √[16 + 16]
= √32

4. सरल करें:
√32 = √(16 × 2) = 4√2

निष्कर्ष:
अतः दूरी 4√2 मात्रक है।

Q4. (लघु) y का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु P(2, -3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. प्रश्न में दिया है:
दूरी PQ = 10

2. दूरी सूत्र लगाएं:
√[(10 - 2)² + (y - (-3))²] = 10
√[(8)² + (y + 3)²] = 10

3. दोनों तरफ वर्ग (Square) करने पर रूट हट जाएगा:
64 + (y + 3)² = 100
(y + 3)² = 100 - 64
(y + 3)² = 36

4. वर्गमूल लेने पर:
y + 3 = ±6

5. दो स्थितियाँ:
स्थिति 1: y + 3 = 6 ⇒ y = 3
स्थिति 2: y + 3 = -6 ⇒ y = -9

निष्कर्ष:
अतः y के मान 3 या -9 हो सकते हैं।

Q5. (लघु) बिंदु (4, -1) और (-2, -3) को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु (Mid-point) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. मध्य-बिंदु का सूत्र:
[(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2]

2. मान रखें:
x₁ = 4, y₁ = -1
x₂ = -2, y₂ = -3

3. गणना करें:
x निर्देशांक = (4 + (-2)) / 2 = (4 - 2) / 2 = 2 / 2 = 1
y निर्देशांक = (-1 + (-3)) / 2 = (-1 - 3) / 2 = -4 / 2 = -2

निष्कर्ष:
अतः मध्य-बिंदु के निर्देशांक (1, -2) हैं।

Q6. (लघु) x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, -5) और (-2, 9) से समदूरस्थ (Equidistant) है।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. चूँकि बिंदु x-अक्ष पर है, इसलिए उसका y निर्देशांक 0 होगा।
माना वह बिंदु P(x, 0) है।
दिए गए बिंदु A(2, -5) और B(-2, 9) हैं।

2. प्रश्न के अनुसार PA = PB है, तो PA² = PB² भी होगा।
PA² = (x - 2)² + (0 - (-5))² = (x - 2)² + 25
PB² = (x - (-2))² + (0 - 9)² = (x + 2)² + 81

3. दोनों को बराबर रखने पर:
(x - 2)² + 25 = (x + 2)² + 81
x² + 4 - 4x + 25 = x² + 4 + 4x + 81

4. x² और 4 दोनों तरफ से कट जाएंगे:
-4x + 25 = 4x + 81
-4x - 4x = 81 - 25
-8x = 56
x = 56 / -8
x = -7

निष्कर्ष:
अतः वह बिंदु (-7, 0) है।

Q7. (लघु) क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (-2, -11) संरेखी (Collinear) हैं? जाँच करें।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. यदि तीन बिंदु संरेखी (एक ही लाइन में) होते हैं, तो उनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होना चाहिए।

2. त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र:
1/2 [x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)]

3. मान रखने पर:
1/2 [1(3 - (-11)) + 2(-11 - 5) + (-2)(5 - 3)]
= 1/2 [1(14) + 2(-16) + (-2)(2)]
= 1/2 [14 - 32 - 4]
= 1/2 [14 - 36]
= 1/2 [-22]
= -11

निष्कर्ष:
चूँकि क्षेत्रफल 0 नहीं आया (यह -11 आया है), इसलिए ये बिंदु संरेखी नहीं हैं।

Q8. (दीर्घ) उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (2, 3), (-1, 0) और (2, -4) हैं।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. शीर्षों को पहचानें:
x₁ = 2, y₁ = 3
x₂ = -1, y₂ = 0
x₃ = 2, y₃ = -4

2. क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल = 1/2 |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)|

3. मान रखने पर:
= 1/2 |2(0 - (-4)) + (-1)(-4 - 3) + 2(3 - 0)|
= 1/2 |2(4) + (-1)(-7) + 2(3)|
= 1/2 |8 + 7 + 6|
= 1/2 |21|
= 21/2
= 10.5

निष्कर्ष:
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल 10.5 वर्ग मात्रक है।

Q9. (दीर्घ) यदि बिंदु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(p, 3) एक समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) के शीर्ष इसी क्रम में हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण (Diagonals) एक-दूसरे को समद्विभाजित (Bisect) करते हैं।
इसका मतलब है: विकर्ण AC का मध्य-बिंदु = विकर्ण BD का मध्य-बिंदु।

2. AC का मध्य-बिंदु:
[(6 + 9)/2 , (1 + 4)/2] = [15/2 , 5/2]

3. BD का मध्य-बिंदु:
[(8 + p)/2 , (2 + 3)/2] = [(8 + p)/2 , 5/2]

4. अब दोनों के x-निर्देशांक बराबर होने चाहिए:
15/2 = (8 + p)/2

5. नीचे का 2 कट जाएगा:
15 = 8 + p
p = 15 - 8
p = 7

निष्कर्ष:
अतः p का मान 7 है।

Q10. (दीर्घ) बिंदुओं A(-2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. लाइन को 4 टुकड़ों में बांटने के लिए हमें बीच में 3 बिंदु चाहिए: P, Q, R.
A — P — Q — R — B

2. बिंदु Q बिल्कुल बीच में (मध्य-बिंदु) होगा।
Q के निर्देशांक = [(-2 + 2)/2, (2 + 8)/2]
= [0/2, 10/2]
= (0, 5)

3. बिंदु P, बिंदु A और Q का मध्य-बिंदु होगा।
A(-2, 2) और Q(0, 5)
P के निर्देशांक = [(-2 + 0)/2, (2 + 5)/2]
= [-2/2, 7/2]
= (-1, 3.5)

4. बिंदु R, बिंदु Q और B का मध्य-बिंदु होगा।
Q(0, 5) और B(2, 8)
R के निर्देशांक = [(0 + 2)/2, (5 + 8)/2]
= [2/2, 13/2]
= (1, 6.5)

निष्कर्ष:
अतः वे तीन बिंदु (-1, 3.5), (0, 5) और (1, 6.5) हैं।

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

⏳ 50:00

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Q1. बिंदु (-4, 3) किस चतुर्थांश (Quadrant) में स्थित है?

प्रथम द्वितीय तृतीय चतुर्थ

उत्तर:
व्याख्या: यहाँ x माइनस में है और y प्लस में (-, +)। यह दूसरे (द्वितीय) घर या चतुर्थांश की पहचान है।

Q2. मूल बिंदु (Origin) के निर्देशांक क्या होते हैं?

(1, 1) (0, 0) (0, 1) (1, 0)

उत्तर:
व्याख्या: जहाँ दोनों अक्ष (x और y) एक-दूसरे को काटते हैं, वह 'जीरो पॉइंट' होता है। इसे (0, 0) लिखते हैं।

Q3. बिंदु (4, -5) में 'भुज' (Abscissa) का मान क्या है?

4 -5 -1 9

उत्तर:
व्याख्या: जो पहला नंबर (x वाला) होता है उसे 'भुज' कहते हैं और दूसरे वाले को 'कोटि'। यहाँ पहला नंबर 4 है।

Q4. बिंदु (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी क्या होगी?

2√2 2 4 √2

उत्तर:
व्याख्या: दूरी सूत्र: √[(4-2)² + (1-3)²] = √[2² + (-2)²] = √[4 + 4] = √8 = 2√2।

Q5. x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का y-निर्देशांक क्या होता है?

1 -1 0 कोई भी संख्या

उत्तर:
व्याख्या: अगर आप x-अक्ष (जमीन वाली लाइन) पर खड़े हैं, तो आपकी ऊँचाई (y) जीरो होगी।

Q6. बिंदु (6, -5) का x-निर्देशांक (भुज) क्या है?

6 -5 -6 5

उत्तर:
व्याख्या: ब्रैकेट में जो पहला नंबर होता है, वही x-निर्देशांक है। यहाँ 6 है।

Q7. y-अक्ष से बिंदु (3, 5) की दूरी क्या है?

5 3 8 √34

उत्तर:
व्याख्या: y-अक्ष से दूरी हमेशा x का मान (भुज) होती है। यहाँ x का मान 3 है। (ट्रिक: y से पूछे तो x वाला बताओ)।

Q8. बिंदुओं (-1, 7) और (4, -3) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु (Mid-point) के निर्देशांक क्या हैं?

(3, 4) (1.5, 2) (5, 10) (-1.5, -2)

उत्तर:
व्याख्या: मध्य बिंदु = (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2। (-1+4)/2 = 3/2 = 1.5। (7-3)/2 = 4/2 = 2। तो (1.5, 2)।

Q9. बिंदु (2, 3) की मूल बिंदु से दूरी कितनी है?

5 √13 6 13

उत्तर:
व्याख्या: मूल बिंदु से दूरी का सूत्र = √(x² + y²)। √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13।

Q10. x = -5 का आलेख (Graph) कैसी रेखा होगी?

x-अक्ष के समांतर y-अक्ष के समांतर मूल बिंदु से जाती हुई इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जब x का मान फिक्स होता है, तो रेखा y-अक्ष के समांतर (Parallel) खड़ी होती है।

Q11. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र क्या है यदि शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃) हों?

1/2 [x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)] x₁ + x₂ + x₃ √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²] इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: सही सूत्र 1/2 [x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)] है। इसे '123-231-312' कोड से याद रख सकते हैं।

Q12. यदि बिंदु A(1, 2), O(0, 0) और C(a, b) संरेखी (Collinear) हैं, तो क्या संबंध सही है?

a = b a = 2b 2a = b a + b = 0

उत्तर:
व्याख्या: संरेखी का मतलब क्षेत्रफल 0। 1/2 [1(0-b) + 0 + a(2-0)] = 0 ⇒ -b + 2a = 0 ⇒ 2a = b।

Q13. बिंदु (-3, -5) किस पाद (Quadrant) में है?

प्रथम द्वितीय तृतीय चतुर्थ

उत्तर:
व्याख्या: दोनों निर्देशांक माइनस (-, -) में हैं। यह तीसरे घर (तृतीय चतुर्थांश) की पहचान है।

Q14. कार्तीय तल (Cartesian Plane) में क्षैतिज रेखा (Horizontal Line) को क्या कहते हैं?

x-अक्ष y-अक्ष मूल बिंदु भुज

उत्तर:
व्याख्या: लेटी हुई (क्षैतिज) लाइन को 'x-अक्ष' कहते हैं और खड़ी लाइन को 'y-अक्ष'।

Q15. बिंदु (4, 3) किस पाद में स्थित है?

प्रथम द्वितीय तृतीय चतुर्थ

उत्तर:
व्याख्या: दोनों प्लस (+, +) में हैं। यह पहले घर (प्रथम चतुर्थांश) की पहचान है।

Q16. बिंदु (2, -3) और (2, 2) के बीच की दूरी क्या है?

1 3 5 4

उत्तर:
व्याख्या: x सेम है, तो सीधे y का अंतर देखो। 2 - (-3) = 2 + 3 = 5।

Q17. यदि बिंदु (x, 2) और (3, 4) के बीच की दूरी 8 हो, तो x का मान क्या होगा?

3 ± √60 60 3 4

उत्तर:
व्याख्या: दूरी² = (3-x)² + (4-2)² ⇒ 64 = (3-x)² + 4 ⇒ 60 = (3-x)² ⇒ √60 = 3-x ⇒ x = 3 ± √60। (यह थोड़ा कठिन प्रश्न है, विकल्प a सही है)।

Q18. y-अक्ष का समीकरण क्या होता है?

x = 0 y = 0 x = y x + y = 0

उत्तर:
व्याख्या: y-अक्ष की पूरी लाइन पर x का मान हमेशा 0 रहता है। इसलिए समीकरण x = 0 है।

Q19. किसी त्रिभुज के केंद्रक (Centroid) के निर्देशांक क्या होते हैं?

(x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3 (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2 x₁+x₂+x₃, y₁+y₂+y₃ इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: तीनों कोनों को जोड़कर 3 से भाग देने पर केंद्रक मिलता है।

Q20. बिंदु (0, -5) कहाँ स्थित है?

x-अक्ष पर y-अक्ष पर तृतीय पाद में चतुर्थ पाद में

उत्तर:
व्याख्या: यहाँ x का मान 0 है। जब x जीरो हो, तो बिंदु y-अक्ष पर होता है।

Q21. विभाजन सूत्र (Section Formula) में यदि अनुपात m:n हो, तो x का मान क्या होता है?

(mx₂ + nx₁)/(m+n) (mx₂ - nx₁)/(m-n) (mx₁ + nx₂)/(m+n) (x₁ + x₂)/2

उत्तर:
व्याख्या: सही सूत्र (mx₂ + nx₁)/(m+n) है। m का गुणा दूर वाले x₂ से और n का पास वाले x₁ से होता है।

Q22. बिंदु (3, -4) की कोटि (Ordinate) क्या है?

3 -4 4 -1

उत्तर:
व्याख्या: दूसरे नंबर (y वाला) को 'कोटि' कहते हैं। यहाँ -4 है।

Q23. यदि तीन बिंदु संरेखी (Collinear) हों, तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?

1 0 अनंत ऋणात्मक

उत्तर:
व्याख्या: संरेखी मतलब तीनों बिंदु एक ही लाइन पर हैं। जब लाइन एक है, तो त्रिभुज बनेगा ही नहीं, इसलिए क्षेत्रफल 0 होगा।

Q24. बिंदु A(4, 5) और B(6, 5) को मिलाने वाली रेखा कैसी होगी?

x-अक्ष के समांतर y-अक्ष के समांतर मूल बिंदु से गुजरेगी इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: दोनों में y का मान (5) बराबर है। जब y न बदले, तो रेखा x-अक्ष के समांतर (लेटी हुई) होती है।

Q25. निर्देशांक अक्षों के प्रतिच्छेद बिंदु को क्या कहते हैं?

भुज कोटि मूल बिंदु चतुर्थांश

उत्तर:
व्याख्या: जहाँ दोनों अक्ष मिलते हैं, उसे मूल बिंदु (Origin) कहते हैं।

Q26. (-5, -3) और (-5, 3) के बीच की दूरी क्या है?

0 6 10 3

उत्तर:
व्याख्या: x सेम है। y का अंतर: 3 - (-3) = 3 + 3 = 6।

Q27. x-अक्ष का समीकरण क्या होता है?

x = 0 y = 0 x = y x = 1

उत्तर:
व्याख्या: x-अक्ष पर y की ऊँचाई हमेशा 0 होती है। इसलिए y = 0।

Q28. (0, 0), (3, 0) और (0, 4) से बने त्रिभुज का परिमाप क्या है?

7 12 5 6

उत्तर:
व्याख्या: एक भुजा 3, दूसरी 4। समकोण त्रिभुज बनेगा, तो कर्ण 5 (पाइथागोरस से)। परिमाप = 3 + 4 + 5 = 12।

Q29. बिंदु A(3, 4) और B(-3, 8) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक हैं:

(0, 12) (0, 6) (6, 6) (-3, 4)

उत्तर:
व्याख्या: x = (3 - 3)/2 = 0। y = (4 + 8)/2 = 12/2 = 6। उत्तर (0, 6)।

Q30. बिंदु (a, b) और (-a, -b) के बीच की दूरी क्या है?

2√(a² + b²) 0 √(a² + b²) 2(a + b)

उत्तर:
व्याख्या: √[(a - (-a))² + (b - (-b))²] = √[(2a)² + (2b)²] = √[4a² + 4b²] = √4(a²+b²) = 2√(a²+b²)।

Q31. x-अक्ष से बिंदु Q(3, -5) की दूरी कितनी है?

3 -5 5 √34

उत्तर:
व्याख्या: x-अक्ष से दूरी y का मान होती है। यहाँ y = -5 है। लेकिन दूरी कभी माइनस नहीं होती, इसलिए +5 होगा।

Q32. (1, 1), (-1, -1) और (-√3, √3) से बनने वाला त्रिभुज कैसा है?

समद्विबाहु समबाहु विषमबाहु समकोण

उत्तर:
व्याख्या: तीनों भुजाओं की दूरी निकालेंगे तो बराबर आएगी। इसलिए यह समबाहु त्रिभुज है।

Q33. y-अक्ष पर वह बिंदु जो (4, 0) और (6, 0) से बराबर दूरी पर हो?

(0, 0) (0, 5) संभव नहीं (0, 3)

उत्तर:
व्याख्या: प्रश्न में दिए बिंदु x-अक्ष पर हैं। y-अक्ष से इनकी दूरी बराबर नहीं हो सकती (सिवाय बहुत दूर के, लेकिन सरलता से देखें तो समदूरस्थ बिंदु y-अक्ष पर निकालना कठिन है जब दोनों बिंदु एक ही तरफ हों)। *संशोधन:* वास्तव में (4,0) और (6,0) के बीच का मध्य बिंदु (5,0) है जो x-अक्ष पर है। y-अक्ष पर ऐसा कोई बिंदु नहीं जिससे दोनों की दूरी बराबर हो क्योंकि दोनों बिंदु y-अक्ष के एक ही तरफ (Right) हैं और अलग-अलग दूरी पर हैं। लेकिन अगर प्रश्न में टाइपिंग एरर नहीं है तो उत्तर 'संभव नहीं' या कोई गणना से निकलने वाला मान हो सकता है। (Note: School level par shayad typo ho, par logic se ye possible nahi. Let's assume the question meant points like (a,b) and (-a,b). Here, option C is logical or none). *Correction for Board Exam*: अक्सर बोर्ड में ऐसे सवालों का उत्तर कोई बिंदु नहीं होता। पर अगर बिंदु (6,5) और (-4,3) होते तो निकलता। यहाँ सही जवाब 'कोई नहीं' या 'संभव नहीं' बेहतर है।

Q34. बिंदु A(2, -4) और B(4, -2) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक क्या हैं?

(6, -6) (3, -3) (1, 1) (-2, -2)

उत्तर:
व्याख्या: (2+4)/2 = 3 और (-4-2)/2 = -3। तो (3, -3)।

Q35. उस बिंदु के निर्देशांक क्या हैं जो y-अक्ष पर स्थित है और x-अक्ष से 4 इकाई नीचे है?

(4, 0) (0, 4) (0, -4) (-4, 0)

उत्तर:
व्याख्या: y-अक्ष पर है तो x=0। नीचे है तो y माइनस होगा (-4)। बिंदु (0, -4)।

Q36. बिंदु (3, 0) किस अक्ष पर स्थित है?

x-अक्ष y-अक्ष प्रथम पाद द्वितीय पाद

उत्तर:
व्याख्या: y जीरो है, इसका मतलब बिंदु x-अक्ष पर लेटा हुआ है।

Q37. यदि किसी बिंदु का भुज 0 है, तो वह बिंदु कहाँ होगा?

x-अक्ष पर y-अक्ष पर कहीं भी मूल बिंदु पर ही

उत्तर:
व्याख्या: भुज (x) जीरो होने का मतलब है कि बिंदु y-अक्ष (खड़ी लाइन) पर है।

Q38. (-3, -4) की मूल बिंदु से दूरी है:

3 4 5 7

उत्तर:
व्याख्या: √[(-3)² + (-4)²] = √(9 + 16) = √25 = 5।

Q39. दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को जोड़ने वाले रेखाखंड को m:n में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक के सूत्र को क्या कहते हैं?

दूरी सूत्र विभाजन सूत्र हीरोन का सूत्र मध्य बिंदु सूत्र

उत्तर:
व्याख्या: इसे 'विभाजन सूत्र' (Section Formula) कहते हैं।

Q40. बिंदु (4, 3) की स्थिति किस पाद में है?

I II III IV

उत्तर:
व्याख्या: दोनों धनात्मक (+, +) हैं, इसलिए प्रथम पाद (I)।

Q41. A(5, 2), B(4, 7) और C(7, -4) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2 -2 4 25

उत्तर:
व्याख्या: सूत्र 1/2 [5(7 - (-4)) + 4(-4 - 2) + 7(2 - 7)] = 1/2 [5(11) + 4(-6) + 7(-5)] = 1/2 [55 - 24 - 35] = 1/2 [-4] = -2। क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं होता, तो मापांक लेने पर 2।

Q42. y-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक क्या होता है?

1 0 -1 कोई भी संख्या

उत्तर:
व्याख्या: y-अक्ष पर आप न दाएं जाते हैं न बाएं, इसलिए x हमेशा 0 रहता है।

Q43. बिंदु P(-6, 8) की मूल बिंदु से दूरी है:

8 2√7 10 6

उत्तर:
व्याख्या: √(36 + 64) = √100 = 10।

Q44. बिंदु (a, b) और (b, a) के मध्य बिंदु के निर्देशांक क्या होंगे?

(a, b) (a+b, a+b) ((a+b)/2, (a+b)/2) (0, 0)

उत्तर:
व्याख्या: x = (a+b)/2, y = (b+a)/2। इसलिए विकल्प (c) सही है।

Q45. किस चतुर्थांश में भुज (+) और कोटि (-) होती है?

प्रथम द्वितीय तृतीय चतुर्थ

उत्तर:
व्याख्या: भुज + और कोटि - मतलब (+, -)। यह चौथे (IV) पाद में होता है।

Q46. बिंदुओं (0, 0), (5, 0) और (0, 12) द्वारा बने त्रिभुज का कर्ण क्या है?

13 17 5 12

उत्तर:
व्याख्या: आधार 5, लंब 12। कर्ण = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13।

Q47. यदि P(1, 2), Q(4, 6), R(5, 7) और S(a, b) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं, तो विकर्णों के कटान बिंदु कैसे निकलेंगे?

दूरी सूत्र से मध्य बिंदु सूत्र से विभाजन सूत्र से इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को 'समद्विभाजित' करते हैं, इसलिए 'मध्य बिंदु सूत्र' का उपयोग सबसे आसान होता है।

Q48. बिंदु (-2, 3) और (2, 3) के बीच की दूरी क्या है?

2 4 6 0

उत्तर:
व्याख्या: y सेम है। x का अंतर: 2 - (-2) = 4।

Q49. (5, -2) और (9, -2) को मिलाने वाली रेखा की लंबाई क्या है?

4 5 2 14

उत्तर:
व्याख्या: y निर्देशांक समान हैं। x का अंतर निकालें: 9 - 5 = 4 इकाई।

Q50. निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) का पिता किसे कहा जाता है?

न्यूटन यूक्लिड रेने डेसकार्टेस पाइथागोरस

उत्तर:
व्याख्या: रेने डेसकार्टेस (René Descartes) ने ही सबसे पहले बीसगणित और ज्यामिति को जोड़ा था।

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