कक्षा 10 गणित अध्याय 14 सांख्यिकी के लिए अध्ययन – नोट्स, प्रश्न उत्तर, MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 14 Statistics Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

📜 परिचय

सांख्यिकी (Statistics) गणित की वह शाखा है जो आंकड़ों (Data) के संग्रह, विश्लेषण, व्याख्या और प्रस्तुति से संबंधित है। हमारे दैनिक जीवन में अखबारों, टीवी और इंटरनेट पर हमें क्रिकेट के स्कोर, चुनाव के नतीजे, तापमान आदि के आंकड़े देखने को मिलते हैं।

इस अध्याय में हम वर्गीकृत आंकड़ों (Grouped Data) के लिए केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मापक - माध्य (Mean), माध्यक (Median), और बहुलक (Mode) ज्ञात करना सीखेंगे।

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केंद्रीय प्रवृत्ति के मापक:

• माध्य: आंकड़ों का औसत मान।
• बहुलक: वह मान जो सबसे अधिक बार आता है।
• माध्यक: आंकड़ों के ठीक बीच का मान।

सामान्य वितरण (Normal Distribution)

💡 तीनों में संबंध (Empirical Formula):
3 × माध्यिका = बहुलक + 2 × माध्य
(3 Median = Mode + 2 Mean)

1. माध्य (Mean)

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य ज्ञात करने की तीन विधियाँ हैं:

(A) प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)

सूत्र: x̄ = (Σfᵢxᵢ) / (Σfᵢ)

जहाँ:

• fᵢ = वर्ग की बारंबारता
• xᵢ = वर्ग चिह्न (Class Mark) = (ऊपरी सीमा + निचली सीमा) / 2
• Σ = योगफल (Summation)

(B) कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method)

सूत्र: x̄ = a + (Σfᵢdᵢ) / (Σfᵢ)

जहाँ:

• a = कल्पित माध्य (xᵢ के बीच का कोई मान)
• dᵢ = विचलन (Deviation) = xᵢ - a

(C) पग-विचलन विधि (Step-Deviation Method)

सूत्र: x̄ = a + [(Σfᵢuᵢ) / (Σfᵢ)] × h

जहाँ:

• h = वर्ग माप (Class Size)
• uᵢ = (xᵢ - a) / h

नोट: यह विधि तब सबसे उपयुक्त होती है जब xᵢ और fᵢ के मान बड़े हों।

2. बहुलक (Mode)

वर्गीकृत आंकड़ों का बहुलक

सबसे अधिक बारंबारता वाले वर्ग को बहुलक वर्ग (Modal Class) कहते हैं।

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सूत्र:

बहुलक = l + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h

जहाँ:

• l = बहुलक वर्ग की निचली सीमा
• h = वर्ग अंतराल की माप
• f₁ = बहुलक वर्ग की बारंबारता
• f₀ = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
• f₂ = बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता

3. माध्यक (Median)

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक

सबसे पहले संचयी बारंबारता (cf) निकालें। फिर n/2 ज्ञात करें (जहाँ n = कुल बारंबारता)।

वह वर्ग जिसकी संचयी बारंबारता n/2 से ठीक बड़ी हो, माध्यक वर्ग (Median Class) कहलाता है।

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सूत्र:

माध्यक = l + [(n/2 - cf) / f] × h

जहाँ:

• l = माध्यक वर्ग की निचली सीमा
• n = प्रेक्षणों की संख्या (Σf)
• cf = माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
• f = माध्यक वर्ग की बारंबारता
• h = वर्ग माप

🌟 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य

(3 Median = Mode + 2 Mean)

यह तीनों मापकों के बीच का आनुभविक संबंध (Empirical Relationship) है। इसे याद रखें!

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 📊 अनुभवजन्य संबंध (1 नंबर पक्का): यह सूत्र रट लें: 3 माध्यक = बहुलक + 2 माध्य (3 Median = Mode + 2 Mean)। इस पर आधारित 1 नंबर का प्रश्न लगभग तय है।
• ⚠️ cf वाली गलती: माध्यिका (Median) निकालते समय सूत्र में जो cf रखी जाती है, वह हमेशा माध्यिका वर्ग से ठीक ऊपर वाले (Preceding) वर्ग की संचयी बारंबारता होती है। यह सबसे आम गलती है।
• 📏 सतत वर्ग अंतराल: यदि वर्ग अंतराल सतत नहीं हैं (जैसे 1-10, 11-20), तो उन्हें (0.5-10.5, 10.5-20.5) में बदलकर सतत (Continuous) बनाना अनिवार्य है। इसके बिना उत्तर गलत आएगा।
• 🔢 लुप्त बारंबारता (Missing Frequency): यदि माध्य दिया हो और f निकालना हो, तो Σfixi / Σfi = Mean समीकरण का उपयोग करें। यदि दो गायब हों (x, y), तो दो समीकरण बनेंगे।

"बहुलक (Mode) का सूत्र '10/2102' कोड से याद रखें (f₁-f₀ ऊपर, 2f₁-f₀-f₂ नीचे)। सांख्यिकी में स्टेप मार्किंग के कारण टेबल और सूत्र लिखने के भी नंबर मिलते हैं।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Self Test)

(नीचे दिए गए प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जांचें)

Q1. (लघु) प्रथम 5 प्राकृत संख्याओं का माध्य (Mean) ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. प्रथम 5 प्राकृत संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 5

2. माध्य का सूत्र = (सभी संख्याओं का योग) / (कुल संख्याएँ)

3. योग = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
कुल संख्याएँ = 5

4. माध्य = 15 / 5
माध्य = 3

निष्कर्ष:
अतः माध्य 3 है。

Q2. (लघु) आँकड़ों 2, 3, 4, 5, 2, 6, 2, 8 का बहुलक (Mode) क्या होगा?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. बहुलक वह संख्या होती है जो आँकड़ों में सबसे ज्यादा बार आती है。

2. यहाँ देखिए:
2 आया है: 3 बार (सबसे ज्यादा)
3 आया है: 1 बार
4 आया है: 1 बार

3. चूँकि 2 सबसे अधिक बार आया है, इसलिए बहुलक = 2 है。

निष्कर्ष:
अतः बहुलक 2 है。

Q3. (लघु) यदि 6, 8, 9, x, 13 का माध्य 10 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. माध्य = (सभी का जोड़) / (कुल संख्या)
10 = (6 + 8 + 9 + x + 13) / 5

2. जोड़ने पर:
10 = (36 + x) / 5

3. तिरछा गुणा (Cross Multiply) करें:
10 × 5 = 36 + x
50 = 36 + x

4. x = 50 - 36
x = 14

निष्कर्ष:
अतः x का मान 14 है。

Q4. (लघु) वर्ग अंतराल 10-25 का वर्ग चिह्न (Class Mark) ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. वर्ग चिह्न निकालने का तरीका होता है दोनों सीमाओं को जोड़कर आधा कर देना。

2. सूत्र: (निचली सीमा + ऊपरी सीमा) / 2

3. = (10 + 25) / 2
= 35 / 2
= 17.5

निष्कर्ष:
अतः वर्ग चिह्न 17.5 है。

Q5. (लघु) आँकड़ों 5, 3, 12, 7, 9, 11, 15 की माध्यिका (Median) ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. माध्यिका निकालने के लिए सबसे पहले संख्याओं को बढ़ते क्रम (Ascending Order) में सजाना होता है。

2. क्रम: 3, 5, 7, 9, 11, 12, 15

3. कुल संख्याएँ (n) = 7 (विषम संख्या है)
बीच वाली संख्या ही माध्यिका होगी。

4. इधर से 3 छोड़ो, उधर से 3 छोड़ो, बीच में बचा 9.

निष्कर्ष:
अतः माध्यिका = 9 है。

Q6. (लघु) एक वितरण का माध्य 10 है और माध्यिका 11 है, तो उसका बहुलक ज्ञात कीजिए। (अनुभवजन्य सूत्र से)

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच का रिश्ता (सूत्र) यह है:
बहुलक = 3 × माध्यिका - 2 × माध्य

2. मान रखने पर:
बहुलक = 3 × 11 - 2 × 10
बहुलक = 33 - 20
बहुलक = 13

निष्कर्ष:
अतः बहुलक 13 है。

Q7. (लघु) आँकड़ों 24, 15, 22, 13, 9, 10 तथा 30 का परिसर (Range) ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. परिसर का मतलब होता है सबसे बड़ी संख्या और सबसे छोटी संख्या का अंतर。

2. सबसे बड़ी संख्या = 30
सबसे छोटी संख्या = 9

3. परिसर = 30 - 9 = 21

निष्कर्ष:
अतः परिसर 21 है。

Q8. (दीर्घ) निम्नलिखित बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए: चर (x): 2, 4, 6, 8 बारंबारता (f): 3, 2, 1, 4

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. माध्य निकालने के लिए हम f और x का गुणा (fx) करते हैं。
(i) (x = 2, f = 3) ⇒ fx = 2 × 3 = 6
(ii) (x = 4, f = 2) ⇒ fx = 4 × 2 = 8
(iii) (x = 6, f = 1) ⇒ fx = 6 × 1 = 6
(iv) (x = 8, f = 4) ⇒ fx = 8 × 4 = 32

2. अब कुल योग निकालें:
कुल बारंबारता (Σf) = 3 + 2 + 1 + 4 = 10
कुल गुणा (Σfx) = 6 + 8 + 6 + 32 = 52

3. माध्य का सूत्र = Σfx / Σf
माध्य = 52 / 10
माध्य = 5.2

निष्कर्ष:
अतः माध्य 5.2 है。

Q9. (दीर्घ) निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक (Mode) ज्ञात कीजिए: वर्ग अंतराल: 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50 बारंबारता: 5, 8, 15, 6, 4

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हल (कदम-दर-कदम):

1. बहुलक वर्ग की पहचान:
सबसे बड़ी बारंबारता 15 है, जो वर्ग 20-30 की है。
इसलिए बहुलक वर्ग = 20-30

2. यहाँ:
l (निचली सीमा) = 20
f1 (बहुलक वर्ग की बारंबारता) = 15
f0 (बहुलक वर्ग से ठीक पहले की बारंबारता) = 8
f2 (बहुलक वर्ग के ठीक बाद की बारंबारता) = 6
h (वर्ग का अंतर) = 10

3. सूत्र: बहुलक = l + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h

4. मान रखने पर:
= 20 + [(15 - 8) / (2×15 - 8 - 6)] × 10
= 20 + [7 / (30 - 14)] × 10
= 20 + [7 / 16] × 10
= 20 + [70 / 16]
= 20 + 4.375
= 24.375

निष्कर्ष:
अतः बहुलक 24.375 है。

Q10. (दीर्घ) यदि माध्यिका (Median) के लिए कुल बारंबारता N = 50 है और माध्यिका वर्ग 20-30 है जिसकी बारंबारता 10 और संचयी बारंबारता (cf) 15 है, तो माध्यिका ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. दिया गया है:
N = 50, तो N/2 = 25
माध्यिका वर्ग = 20-30
l (निचली सीमा) = 20
f (माध्यिका वर्ग की बारंबारता) = 10
cf (माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी बारंबारता) = 15
h (अंतर) = 10

2. माध्यिका का सूत्र = l + [(N/2 - cf) / f] × h

3. मान रखने पर:
= 20 + [(25 - 15) / 10] × 10
= 20 + [10 / 10] × 10

4. यहाँ 10 से 10 कट जाएगा。
= 20 + 10
= 30

निष्कर्ष:
अतः माध्यिका 30 है。

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

⏳ 50:00

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Q1. केंद्रीय प्रवृत्ति (Central Tendency) की माप इनमें से कौन सी नहीं है?

माध्य (Mean) माध्यिका (Median) बहुलक (Mode) मानक विचलन

उत्तर:
व्याख्या: कक्षा 10 में हम सिर्फ तीन मुख्य चीजें पढ़ते हैं—माध्य, माध्यिका और बहुलक। मानक विचलन बड़ी क्लास का टॉपिक है।

Q2. आँकड़ों 2, 3, 4, 5, 6 का माध्य (Mean) क्या होगा?

3 4 5 20

उत्तर:
व्याख्या: सबको जोड़ो और गिनती से भाग दो। (2+3+4+5+6) = 20। कुल 5 लोग हैं। 20 ÷ 5 = 4।

Q3. सबसे अधिक बार आने वाली संख्या को क्या कहते हैं?

माध्य माध्यिका बहुलक परिसर

उत्तर:
व्याख्या: जो 'बहुत' बार आए, उसे 'बहुलक' (Mode) कहते हैं। जैसे क्लास में जिसका नाम सबसे ज्यादा बार पुकारा जाए।

Q4. संचयी बारंबारता वक्र (Cumulative Frequency Curve) को और किस नाम से जाना जाता है?

आयत चित्र तोरण (Ogive) बारंबारता बहुभुज पाई चार्ट

उत्तर:
व्याख्या: इस टेढ़ी-मेढ़ी लाइन वाले ग्राफ को 'तोरण' कहते हैं। यह माध्यिका निकालने के काम आता है।

Q5. वर्ग अंतराल 10-20 का वर्ग चिह्न (Class Mark) क्या होगा?

10 20 15 30

उत्तर:
व्याख्या: दोनों को जोड़कर आधा कर दो। (10 + 20) = 30। 30 का आधा 15। यह बिल्कुल बीच की संख्या होती है।

Q6. 3, 4, 7, 2, 7, 6, 7, 9 का बहुलक (Mode) क्या है?

3 4 7 9

उत्तर:
व्याख्या: देखो कौन सा नंबर सबसे ज्यादा बार दिख रहा है? 7 यहाँ तीन बार आया है, बाकी सब कम हैं। तो 'हीरो' 7 है।

Q7. माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच क्या संबंध है? (Empirical Formula)

बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य) बहुलक = 2(माध्यिका) - 3(माध्य) माध्य = बहुलक - माध्यिका इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: यह फार्मूला रट लो: "3 मेडिसिन (Median) 2 मीन (Mean) लोगों को ठीक करती हैं"। यानी 3 माध्यिका - 2 माध्य।

Q8. प्रथम 5 प्राकृत संख्याओं का माध्य क्या है?

2 3 4 5

उत्तर:
व्याख्या: 1, 2, 3, 4, 5। इनको जोड़ो (15) और 5 से भाग दो। 15 ÷ 5 = 3।

Q9. आँकड़ों का 'परिसर' (Range) क्या होता है?

सबसे बड़ी संख्या + सबसे छोटी संख्या सबसे बड़ी संख्या - सबसे छोटी संख्या माध्य बहुलक

उत्तर:
व्याख्या: सबसे अमीर (बड़ी संख्या) और सबसे गरीब (छोटी संख्या) के बीच का अंतर ही परिसर है।

Q10. यदि आँकड़ों को बढ़ते क्रम (Ascending Order) में सजाया जाए, तो बीच वाली संख्या क्या कहलाती है?

माध्य माध्यिका बहुलक त्वरण

उत्तर:
व्याख्या: लाइन में सबको खड़ा करो, जो ठीक बीच में खड़ा हो, वही 'माध्यिका' (Median) है।

Q11. तोरण खींचने के लिए वर्ग अंतरालों को कैसा होना चाहिए?

समावेशिक (Inclusive) अपवर्जी (Exclusive) दोनों कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: ग्राफ हमेशा लगातार (Continuous) होना चाहिए, जैसे 0-10, 10-20। इसे अपवर्जी कहते हैं। बीच में गैप नहीं होना चाहिए।

Q12. वर्ग अंतराल 20-30 की 'वर्ग माप' (Class Size) या लंबाई क्या है?

20 30 10 50

उत्तर:
व्याख्या: 30 में से 20 घटा दो। अंतर कितना है? 10 का। यही वर्ग माप है।

Q13. 1, 3, 0, 3, 1, 3 का बहुलक होगा:

0 1 2 3

उत्तर:
व्याख्या: 3 सबसे ज्यादा बार (तीन बार) आया है, इसलिए 3 बहुलक है।

Q14. प्रथम 3 सम (Even) संख्याओं का माध्य क्या है?

2 3 4 6

उत्तर:
व्याख्या: पहली 3 सम संख्याएं: 2, 4, 6। जोड़ = 12। माध्य = 12/3 = 4।

Q15. माध्यिका (Median) ज्ञात करने के लिए हमें संचयी बारंबारता (CF) की आवश्यकता होती है?

हाँ, हमेशा नहीं, कभी नहीं केवल माध्य के लिए केवल बहुलक के लिए

उत्तर:
व्याख्या: जब भी बड़े सवाल में माध्यिका निकालनी हो, तो CF (संचयी बारंबारता) वाली टेबल बनानी ही पड़ती है।

Q16. 12, 11, 10, 15, 12, 10, 12 का बहुलक है:

10 11 12 15

उत्तर:
व्याख्या: 12 तीन बार आया है। 10 दो बार। विजेता 12 है।

Q17. यदि 4, 5, 9, 11 और x का माध्य 7 है, तो x का मान क्या है?

4 6 7 8

उत्तर:
व्याख्या: कुल 5 संख्याएँ हैं। माध्य 7 है, तो कुल जोड़ 35 होना चाहिए (7×5)। अभी का जोड़ (4+5+9+11) = 29 है। 35 बनाने के लिए 6 और चाहिए।

Q18. "से कम" (Less than) और "से अधिक" (More than) प्रकार के तोरण एक-दूसरे को जिस बिंदु पर काटते हैं, उसका X-अक्ष क्या देता है?

माध्य माध्यिका बहुलक बारंबारता

उत्तर:
व्याख्या: जहाँ ये दोनों लाइनें क्रॉस करती हैं, उसके ठीक नीचे X-लाइन पर हमें 'माध्यिका' मिलती है।

Q19. माध्यिका का सूत्र क्या है? (जहाँ l = निम्न सीमा)

l + [(n/2 - cf)/f] × h l + [(f1 - f0)/(2f1 - f0 - f2)] × h Σfx / Σf कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: माध्यिका में n/2 का उपयोग होता है। तो सही सूत्र पहला वाला (a) है। दूसरा वाला बहुलक का है।

Q20. 24, 15, 22, 13, 9, 10, 30 का परिसर (Range) क्या है?

20 21 22 24

उत्तर:
व्याख्या: सबसे बड़ा 30 है, सबसे छोटा 9 है। 30 - 9 = 21।

Q21. माध्य (Mean) का सूत्र Σfixi / Σfi में, Σ (सिग्मा) का क्या अर्थ है?

घटाव योग (Sum) गुणा भाग

उत्तर:
व्याख्या: यह अजीब सा निशान (Σ) ग्रीक अक्षर है, इसका मतलब होता है "सबको जोड़ दो"।

Q22. 5, 3, 7, 6, 4, 2, 1 की माध्यिका (Median) क्या है?

2 3 4 6

उत्तर:
व्याख्या: सबसे पहले क्रम में लगाओ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7। अब ठीक बीच में देखो कौन है? 4 है।

Q23. बहुलक (Mode) निकालने के सूत्र में 'f1' क्या होता है?

बहुलक वर्ग की बारंबारता बहुलक वर्ग से ठीक पहले की बारंबारता बहुलक वर्ग के ठीक बाद की बारंबारता कुल बारंबारता

उत्तर:
व्याख्या: '1' मतलब नंबर वन! जो सबसे मुख्य (बहुलक) वर्ग है, उसकी बारंबारता f1 होती है। (पहले वाली f0, बाद वाली f2)।

Q24. किसी वितरण का माध्य 10 और माध्यिका 11 है, तो बहुलक क्या होगा?

10 11 12 13

उत्तर:
व्याख्या: फार्मूला: बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य)। 3(11) - 2(10) = 33 - 20 = 13।

Q25. प्रथम 5 अभाज्य (Prime) संख्याओं का माध्य क्या है?

5.6 5 4.5 6

उत्तर:
व्याख्या: अभाज्य: 2, 3, 5, 7, 11। जोड़ = 28। माध्य = 28/5 = 5.6। (1 अभाज्य नहीं होती)।

Q26. वर्ग अंतराल 0-10, 10-20, 20-30 में संख्या '20' किस अंतराल में शामिल होगी?

10-20 में 20-30 में दोनों में किसी में नहीं

उत्तर:
व्याख्या: सीमा पर खड़ा व्यक्ति हमेशा अगले घर में गिना जाता है। 20 खत्म होने वाले में नहीं, बल्कि 20 से शुरू होने वाले (20-30) में जाएगा।

Q27. यदि माध्य = 5 और बहुलक = 5 हो, तो माध्यिका क्या होगी?

5 10 0 2.5

उत्तर:
व्याख्या: यदि माध्य और बहुलक बराबर हैं, तो माध्यिका भी वही होगी। सब 5 होंगे। (सममित वितरण)।

Q28. पद विचलन विधि (Step Deviation Method) का उपयोग क्या ज्ञात करने के लिए किया जाता है?

माध्य माध्यिका बहुलक बारंबारता

उत्तर:
व्याख्या: जब गुणा-भाग बहुत बड़े हो जाते हैं, तो 'माध्य' (Mean) निकालने के लिए हम इस शॉर्टकट विधि का उपयोग करते हैं।

Q29. माध्यिका निकालने के लिए 'n' का क्या अर्थ है?

वर्गों की संख्या कुल बारंबारता (Σf) वर्ग अंतराल माध्य

उत्तर:
व्याख्या: n का मतलब है कुल कितने लोग हैं, यानी सारी बारंबारताओं का जोड़।

Q30. 1, 2, 3, ....., n का समांतर माध्य क्या है?

(n+1)/2 n/2 n(n+1)/2 n²

उत्तर:
व्याख्या: लगातार संख्याओं का औसत पहली और आखिरी संख्या के जोड़ का आधा होता है। (1+n)/2।

Q31. यदि प्रेक्षणों (Observations) की संख्या 'n' विषम (Odd) है, तो माध्यिका कौन सा पद होगी?

n/2 वाँ पद (n+1)/2 वाँ पद n वाँ पद इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: जैसे 5 उंगलियां हैं, तो बीच वाली (5+1)/2 = 3री उंगली होगी। इसलिए (n+1)/2।

Q32. क्या आलेख (Graph) द्वारा माध्य (Mean) ज्ञात किया जा सकता है?

हाँ नहीं कभी-कभी केवल आयत चित्र से

उत्तर:
व्याख्या: नहीं। माध्यिका को 'तोरण' से और बहुलक को 'आयत चित्र' से निकाल सकते हैं, लेकिन माध्य को ग्राफ से नहीं निकाल सकते।

Q33. एक बारंबारता बंटन में, बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी बारंबारता...

सबसे कम हो सबसे अधिक हो मध्य में हो 0 हो

उत्तर:
व्याख्या: बहुलक (Mode) मतलब 'फैशन'। जो सबसे ज्यादा बार दिखे, वही बहुलक वर्ग है।

Q34. x, 3, 4, 5 का माध्य 4 है, तो x का मान क्या है?

0 4 60 10

उत्तर:
व्याख्या: संख्या 4 हैं, माध्य 4 है, तो कुल जोड़ 16 होना चाहिए। अभी 3+4+5=12 है। 16 बनाने के लिए x को 4 होना पड़ेगा।

Q35. बहुलक ज्ञात करने के लिए आयत चित्र (Histogram) कैसा होना चाहिए?

अलग-अलग समान चौड़ाई का नहीं सतत (Continuous) इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: खंभे आपस में चिपके होने चाहिए (सतत), बीच में गैप नहीं होना चाहिए।

Q36. 100 छात्रों के प्राप्तांकों की माध्यिका 40 है। यदि हर छात्र के अंक में 5 जोड़ दिए जाएं, तो नई माध्यिका क्या होगी?

40 45 200 50

उत्तर:
व्याख्या: अगर सब लोग 5 कदम आगे बढ़ जाएं, तो बीच वाला आदमी भी 5 कदम आगे (40 + 5 = 45) पर होगा।

Q37. वर्ग चिह्न (xi) और कल्पित माध्य (a) का अंतर (xi - a) क्या कहलाता है?

विचलन (Deviation - di) पग विचलन (ui) बारंबारता माध्य

उत्तर:
व्याख्या: असली नंबर कल्पित माध्य से कितना भटका हुआ है, इसे 'विचलन' (di) कहते हैं।

Q38. निम्नलिखित में से कौन आलेखीय विधि से ज्ञात नहीं किया जा सकता?

माध्य माध्यिका बहुलक इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: यह सवाल बार-बार आता है। याद रखें: 'माध्य' (Mean) का कोई चित्र नहीं होता।

Q39. माध्यिका वर्ग कैसे चुनते हैं?

जिसकी बारंबारता सबसे अधिक हो जिसमें N/2 से ठीक बड़ी संचयी बारंबारता आती हो सबसे पहला वर्ग सबसे अंतिम वर्ग

उत्तर:
व्याख्या: हम N/2 निकालते हैं, और देखते हैं कि यह नंबर CF लाइन में सबसे पहले किसमें फिट होगा।

Q40. 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3 का बहुलक क्या है?

2 3 6 0

उत्तर:
व्याख्या: 2 तीन बार आया है। 3 दो बार आया है। विजेता 2 है।

Q41. कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) का सूत्र क्या है?

a + (Σfidi / Σfi) a + (Σfiui / Σfi) × h Σfixi / Σfi a + l

उत्तर:
व्याख्या: कल्पित माध्य 'a' होता है और विचलन 'd' होता है। तो सूत्र में 'a' और 'd' दोनों होने चाहिए। (पहला विकल्प)।

Q42. यदि आँकड़ों के हर मान में 2 से गुणा कर दिया जाए, तो नया माध्य क्या होगा?

वही रहेगा 2 जुड़ जाएगा 2 गुना हो जाएगा आधा हो जाएगा

उत्तर:
व्याख्या: माध्य बहुत संवेदनशील होता है। जो तुम संख्याओं के साथ करोगे (गुणा), माध्य के साथ भी वही (दुगना) हो जाएगा।

Q43. वर्ग अंतराल 5-10, 10-15, 15-20... किस प्रकार के वर्ग अंतराल हैं?

अपवर्जी (Exclusive) समावेशिक (Inclusive) दोनों कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: 10 यहाँ खत्म, 10 वहाँ शुरू। जब ओवरलैप हो, तो इसे 'अपवर्जी' कहते हैं। यह गणना के लिए अच्छा है।

Q44. यदि बहुलक = 16 और माध्य = 16 हो, तो माध्यिका क्या होगी?

16 32 0 48

उत्तर:
व्याख्या: यदि माध्य और बहुलक बराबर हैं, तो माध्यिका भी उनके बराबर ही होगी। (16)।

Q45. किसी वितरण में, वह मान जो इसे दो बराबर भागों में बांटता है, कहलाता है:

माध्य माध्यिका बहुलक बारंबारता

उत्तर:
व्याख्या: केक को बीच से काटने वाला चाकू 'माध्यिका' है। 50% इधर, 50% उधर।

Q46. 6, 8, 9, x, 13 का माध्य 10 है, तो x का मान है:

12 14 13 15

उत्तर:
व्याख्या: 5 संख्याएँ, माध्य 10। कुल जोड़ 50 होना चाहिए। अभी 6+8+9+13 = 36 है। 50 के लिए 14 और चाहिए।

Q47. तोरण खींचने के लिए, बिंदुओं को ग्राफ पर किस आधार पर अंकित किया जाता है?

निम्न सीमा और बारंबारता ऊपरी सीमा और संचयी बारंबारता वर्ग चिह्न और बारंबारता कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: "से कम" तोरण में हम 'ऊपरी सीमा' और 'संचयी बारंबारता' (CF) का उपयोग करते हैं।

Q48. बहुलक वर्ग के लिए आयत (Histogram) की ऊँचाई कैसी होती है?

सबसे छोटी सबसे बड़ी बराबर शून्य

उत्तर:
व्याख्या: जिसकी बारंबारता सबसे ज्यादा होगी, उसका खंभा (Building) सबसे ऊँचा बनेगा।

Q49. यदि किसी आंकड़े का माध्य (Mean) 20 है और माध्यिका (Median) 22 है, तो बहुलक (Mode) होगा:

20 26 24 25

उत्तर:
व्याख्या: बहुलक = 3(22) - 2(20) = 66 - 40 = 26।

Q50. सांख्यिकी (Statistics) का पिता किसे कहा जाता है? (GK)

आर्यभट्ट सर रोनाल्ड फिशर (R.A. Fisher) न्यूटन आइंस्टीन

उत्तर:
व्याख्या: सर रोनाल्ड फिशर को आधुनिक सांख्यिकी का जनक माना जाता है। यह नाम याद रखना अच्छा है।

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➡️ अध्याय - 15: प्रायिकता (Probability)

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