कक्षा 10 गणित अध्याय 11 रचनाएँ – नोट्स, प्रश्न उत्तर, MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 11 Constructions Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

📜 परिचय (Introduction)

इस अध्याय में हम पटरी (Scale) और प्रकार (Compass) की सहायता से सटीक ज्यामितीय आकृतियाँ बनाना सीखते हैं। मुख्य रूप से दो प्रकार की रचनाएँ परीक्षा में आती हैं:

• 1. रेखाखंड का विभाजन (Division of Line Segment)
• 2. वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना (Construction of Tangents)

1. रचनाओं का दृश्य (Visual Guide)

2. रेखाखंड का विभाजन (3:2 अनुपात में)

प्रश्न: 7.6 cm लंबा एक रेखाखंड खींचिए और इसे 3:2 के अनुपात में विभाजित कीजिए।

रचना के चरण (Steps of Construction):
1. रेखा खींचें: सबसे पहले 7.6 cm लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए।
2. न्यून कोण: बिंदु A से नीचे की ओर एक किरण AX खींचिए जो AB के साथ न्यून कोण (Acute Angle) बनाए।
3. चाप लगाएँ: अनुपात का योग निकालें (3 + 2 = 5)। अब प्रकार (Compass) को एक निश्चित दूरी पर सेट करें और किरण AX पर 5 बराबर चाप लगाएँ (A₁, A₂, A₃, A₄, A₅)।
4. अंतिम बिंदु जोड़ें: अंतिम बिंदु A₅ को B से मिला दें।
5. समांतर रेखा: अब अनुपात के पहले भाग (3) वाले बिंदु A₃ से, रेखा A₅B के समांतर एक रेखा खींचिए जो AB को बिंदु C पर काटे।
6. परिणाम: बिंदु C रेखाखंड AB को 3:2 में विभाजित करता है। (AC:CB = 3:2)

3. बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखा की रचना

प्रश्न: 6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए और केंद्र से 10 cm दूर स्थित बिंदु से स्पर्श रेखाएँ खींचिए।

रचना के चरण:
1. वृत्त बनाएँ: केंद्र O मानकर 6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
2. बिंदु लें: केंद्र O से 10 cm दूर एक बिंदु P अंकित करें और OP को मिलाएँ।
3. लंब समद्विभाजक (Perpendicular Bisector): रेखा OP का लंब समद्विभाजक खींचें जो OP को बिंदु M पर काटे (M मध्य बिंदु होगा)।
4. दूसरा वृत्त: अब M को केंद्र मानकर और MO को त्रिज्या मानकर एक बिंदीदार (Dotted) वृत्त खींचिए।
5. कटान बिंदु: यह नया वृत्त पुराने वृत्त को जिन दो बिंदुओं पर काटता है, उन्हें T₁ और T₂ नाम दें।
6. स्पर्श रेखा: बिंदु P को T₁ और T₂ से मिला दें। PT₁ और PT₂ ही अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• ✏️ सफाई और स्पष्टता (Neatness): रचना के चित्र में पेंसिल की नोक बहुत बारीक होनी चाहिए। चाप (Arcs) स्पष्ट दिखनी चाहिए, उन्हें मिटाएँ नहीं, क्योंकि परीक्षक यही देखता है कि आपने रचना कैसे की है।
• 📏 रचना के चरण (Steps of Construction): चाहे प्रश्न में पूछा गया हो या नहीं, रचना के चरण हमेशा लिखें। यह स्टेप मार्किंग का हिस्सा है। सरल भाषा में लिखें (जैसे: "सर्वप्रथम AB = 7cm खींचा...")।
• 🎯 दो मुख्य प्रकार: केवल दो तरह के प्रश्न पक्के करें:
  1. रेखाखंड का विभाजन (3:2 आदि अनुपात में)।
  2. बाहरी बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का निर्माण।
• ⚠️ औचित्य (Justification): कभी-कभी 4 नंबर के प्रश्न में "रचना का औचित्य" भी पूछा जाता है। इसके लिए समरूप त्रिभुज (Similar Triangles) या स्पर्श रेखा प्रमेय (Tangent Theorem) का उपयोग करके सिद्ध करना आना चाहिए।

"ओवरराइटिंग (Overwriting) बिल्कुल न करें। यदि चित्र गंदा हो जाए, तो उसे काटकर नए पेज पर दोबारा बनाएँ।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Self Test)

(नीचे दिए गए प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जांचें)

Q1. (लघु) यदि एक रेखाखंड AB को 3:2 के अनुपात में विभाजित करना हो, तो न्यूनकोण बनाने वाली किरण AX पर कम से कम कितने बराबर बिंदु अंकित करने होंगे?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. जब हम किसी रेखाखंड को m:n के अनुपात में बांटते हैं, तो किरण AX पर बनाए जाने वाले कुल बिंदुओं की संख्या (m + n) होती है。
यहाँ अनुपात 3:2 है。
m = 3 और n = 2

2. कुल बिंदु = 3 + 2 = 5

निष्कर्ष:
अतः हमें किरण AX पर कम से कम 5 बराबर दूरी वाले बिंदु (A1, A2, A3, A4, A5) अंकित करने होंगे。

Q2. (लघु) किसी वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचनी हैं जिनके बीच का कोण 60° हो। तो वृत्त के केंद्र पर उन दोनों त्रिज्याओं के बीच कितना कोण बनाना होगा?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. हम जानते हैं कि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और केंद्र पर बना कोण संपूरक (Supplementary) होते हैं। यानी उनका जोड़ 180° होता है。

2. केंद्र का कोण + स्पर्श रेखाओं का कोण = 180°
केंद्र का कोण + 60° = 180°
केंद्र का कोण = 180° - 60°
केंद्र का कोण = 120°

निष्कर्ष:
अतः हमें केंद्र पर 120° का कोण बनाना होगा。

Q3. (लघु) एक दिए गए त्रिभुज के समरूप एक नया त्रिभुज बनाना है जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की 3/4 गुनी हों। नया त्रिभुज दिए गए त्रिभुज से छोटा होगा या बड़ा?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. यहाँ स्केल गुणक (Scale Factor) 3/4 है。
3/4 का मान 1 से कम होता है (0.75)。

2. जब ऊपर वाला अंक (अंश) नीचे वाले अंक (हर) से छोटा होता है, तो नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से छोटा बनता है。
अतः नया त्रिभुज छोटा होगा और वह मूल त्रिभुज के अंदर बनेगा。

Q4. (लघु) किसी वृत्त के अंदर स्थित एक बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. वृत्त के अंदर मौजूद किसी भी बिंदु से हम वृत्त पर कोई भी स्पर्श रेखा नहीं खींच सकते。
अगर हम कोशिश करेंगे, तो वह रेखा वृत्त को काटकर निकल जाएगी (छेदक रेखा बन जाएगी), स्पर्श नहीं करेगी。

निष्कर्ष:
अतः स्पर्श रेखाओं की संख्या शून्य (0) होगी。

Q5. (लघु) परकार (Compass) और पटरी की सहायता से हम कौन-कौन से कोण बना सकते हैं? (कोई दो उदाहरण दें जो 15 के पहाड़े में आते हों)

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. हम परकार से वे सभी कोण बना सकते हैं जो 15 से भाग हो जाते हैं या किसी कोण के आधे होते हैं。
उदाहरण:
1. 60° (यह सबसे आसानी से बनता है)
2. 90° (60 और 120 के बीच में)
3. 45° (90 का आधा)
4. 30° (60 का आधा)

निष्कर्ष:
अतः 30°, 45°, 60°, 90° आदि कोण बनाए जा सकते हैं。

Q6. (लघु) 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 13 सेमी दूर स्थित बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई की गणना करें।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. यह रचना का सवाल है लेकिन इसे गणना से जाँचा जा सकता है。
स्पर्श रेखा त्रिज्या के साथ समकोण बनाती है。
कर्ण (केंद्र से दूरी) = 13 सेमी
लंब (त्रिज्या) = 5 सेमी

2. स्पर्श रेखा = √(कर्ण² - त्रिज्या²)
= √(13² - 5²)
= √(169 - 25)
= √144
= 12 सेमी

निष्कर्ष:
अतः स्पर्श रेखा की लंबाई 12 सेमी होगी。

Q7. (लघु) किसी रेखाखंड के लम्ब समद्विभाजक (Perpendicular Bisector) खींचने के लिए परकार को कितना खोलना चाहिए?

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. किसी रेखाखंड को दो बराबर भागों में बाँटने के लिए, हम परकार की नोक को एक सिरे पर रखते हैं。
परकार को रेखाखंड की लंबाई के आधे से थोड़ा ज्यादा (More than half) खोलना चाहिए。
अगर आधे से कम खोलेंगे तो चाप (Arc) आपस में नहीं कटेंगे。

निष्कर्ष:
अतः उत्तर है: आधे से अधिक。

Q8. (दीर्घ) 7.6 सेमी लंबा एक रेखाखंड खींचिए और इसे 5:8 के अनुपात में विभाजित कीजिए। दोनों भागों की लंबाई लगभग कितनी होगी? (गणना करके बताएँ)

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. कुल अनुपात = 5 + 8 = 13
कुल लंबाई = 7.6 सेमी

2. पहला भाग (5 वाला हिस्सा):
लंबाई = (5 / 13) × 7.6
= 38 / 13
= 2.9 सेमी (लगभग)

3. दूसरा भाग (8 वाला हिस्सा):
लंबाई = (8 / 13) × 7.6
= 60.8 / 13
= 4.7 सेमी (लगभग)

4. जाँच: 2.9 + 4.7 = 7.6 सेमी。

निष्कर्ष:
अतः रचना करने के बाद मापने पर दोनों भाग क्रमशः 2.9 सेमी और 4.7 सेमी के आसपास आएंगे。

Q9. (दीर्घ) 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केंद्र से 10 सेमी दूर स्थित एक बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म (Pair of tangents) की रचना की विधि संक्षेप में बताएँ और स्पर्श रेखा की लंबाई भी बताएँ।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. रचना के चरण (संक्षेप में):
(i) O केंद्र लेकर 6 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचें。
(ii) केंद्र O से 10 सेमी दूर एक बिंदु P लें。
(iii) रेखाखंड OP का लम्ब समद्विभाजक (Mid-point M) खींचें。
(iv) M को केंद्र मानकर MO त्रिज्या का एक वृत्त खींचें जो पहले वाले वृत्त को दो बिंदुओं (T1 और T2) पर काटे。
(v) P को T1 और T2 से मिला दें। यही स्पर्श रेखाएँ हैं。

2. गणना (लंबाई):
त्रिभुज OT1P एक समकोण त्रिभुज है。
OP (कर्ण) = 10 सेमी, OT1 (त्रिज्या) = 6 सेमी
PT1 = √(10² - 6²)
PT1 = √(100 - 36)
PT1 = √64
PT1 = 8 सेमी

निष्कर्ष:
अतः स्पर्श रेखा की लंबाई 8 सेमी होगी。

Q10. (दीर्घ) एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी और ∠ABC = 60° हो। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाओं की 3/4 गुनी हों। (सिर्फ मुख्य तर्क बताएँ)

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

तर्क (Logic):
1. सबसे पहले आधार BC = 6 सेमी खींचेंगे। बिंदु B पर 60° का कोण बनाएँगे और 5 सेमी काटकर A बिंदु प्राप्त करेंगे। त्रिभुज ABC बन जाएगा。
2. अब हमें 3/4 गुनी भुजा वाला त्रिभुज बनाना है。
3. क्योंकि 3/4 एक से छोटा है (Proper fraction), इसलिए नया त्रिभुज पुराने त्रिभुज के अंदर बनेगा。
4. B से नीचे की ओर एक न्यूनकोण बनाती किरण खींचेंगे。
5. किरण पर 4 (हर में जो बड़ी संख्या है) बराबर बिंदु (B1, B2, B3, B4) अंकित करेंगे。
6. अंतिम बिंदु B4 को C से मिलाएंगे。
7. अब 3/4 के लिए, तीसरे बिंदु B3 से B4C के समांतर रेखा खींचेंगे जो BC को C' पर काटेगी。
8. C' से AC के समांतर रेखा खींचेंगे जो AB को A' पर काटेगी。
9. A'BC' ही अभीष्ट त्रिभुज होगा。

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

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Q1. किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने के लिए, न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण खींची जाती है। यदि अनुपात m:n हो, तो किरण पर कम से कम कितने बिंदु अंकित करने होंगे?

m × n m + n m - n m / n

उत्तर:
व्याख्या: अगर हमें किसी लाइन को 3:2 में बांटना है, तो हम 3+2=5 कट (निशान) लगाते हैं। यानी दोनों नंबरों को जोड़ना होता है (m+n)।

Q2. किसी वृत्त पर स्पर्श रेखा खींचने के लिए, स्पर्श बिंदु और केंद्र को मिलाने वाली त्रिज्या के साथ कितने डिग्री का कोण बनाना होता है?

30° 60° 90° 45°

उत्तर:
व्याख्या: स्पर्श रेखा हमेशा त्रिज्या पर एकदम सीधी खड़ी होती है, जैसे जमीन पर खंभा। यह हमेशा 90 डिग्री का कोण बनाती है।

Q3. एक त्रिभुज ABC के समरूप एक त्रिभुज की रचना करने के लिए, जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की भुजाओं की 3/4 गुनी हों, किरण AX पर कितने बिंदु अंकित किए जाएंगे?

3 4 7 1

उत्तर:
व्याख्या: भिन्न (Fraction) में जो नंबर बड़ा होता है (चाहे ऊपर हो या नीचे), उतने ही कट लगाने होते हैं। 3 और 4 में बड़ा 4 है।

Q4. यदि हमें एक रेखाखंड AB को 3:2 के अनुपात में विभाजित करना है, तो अंतिम बिंदु को किरण के किस बिंदु से मिलाया जाएगा?

A₃ A₂ A₅ A₆

उत्तर:
व्याख्या: 3 + 2 = 5 होता है। जो सबसे आखिरी वाला बिंदु (A₅) होता है, उसे ही लाइन के दूसरे छोर (B) से मिलाते हैं।

Q5. वृत्त के बाहरी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

1 2 3 0

उत्तर:
व्याख्या: बाहर खड़े होकर आप वृत्त को दोनों हाथों से छू सकते हैं, एक ऊपर और एक नीचे। इसलिए 2 रेखाएँ।

Q6. एक त्रिभुज की रचना के लिए कम से कम कितने स्वतंत्र माप (Elements) की आवश्यकता होती है?

1 2 3 4

उत्तर:
व्याख्या: त्रिभुज बनाने के लिए कम से कम 3 चीजें पता होनी चाहिए (जैसे 3 भुजाएँ, या 2 भुजा और 1 कोण, आदि)।

Q7. 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हैं। तो केंद्र पर त्रिज्याओं के बीच का कोण कितना होगा?

60° 90° 120° 180°

उत्तर:
व्याख्या: बाहर का कोण और केंद्र का कोण मिलकर 180° बनाते हैं। अगर बाहर 60° है, तो अंदर 180 - 60 = 120° होगा।

Q8. किसी वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ कैसी होती हैं?

लंबवत समांतर प्रतिच्छेदी इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: एक रेखा सबसे ऊपर और एक सबसे नीचे। ये दोनों रेल की पटरी की तरह सीधी (समांतर) होती हैं।

Q9. परकार और पटरी (Compass and Ruler) की सहायता से निम्नलिखित में से कौन सा कोण नहीं बनाया जा सकता?

30° 45° 60° 40°

उत्तर:
व्याख्या: परकार से वे कोण बनते हैं जो 15 के पहाड़े (Table) में आते हैं (जैसे 15, 30, 45, 60)। 40 नहीं आता, इसलिए इसे नहीं बना सकते।

Q10. एक त्रिभुज ABC की रचना संभव नहीं है यदि हमें तीन कोण दिए हों, क्योंकि...

भुजाओं का पता नहीं चलता कोणों का योग 180 नहीं होगा अनंत त्रिभुज बन सकते हैं इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: सिर्फ कोण पता होने से हम त्रिभुज का साइज (छोटा या बड़ा) तय नहीं कर सकते। ऐसे अनंत त्रिभुज बन सकते हैं।

Q11. किसी वृत्त के केंद्र का पता लगाने के लिए हम वृत्त की दो जीवाओं (Chords) का क्या खींचते हैं?

कोण समद्विभाजक लम्ब समद्विभाजक स्पर्श रेखा व्यास

उत्तर:
व्याख्या: जीवाओं को बीच से काटने वाली सीधी लाइन (लम्ब समद्विभाजक) जहाँ मिलती है, वहीं वृत्त का केंद्र होता है।

Q12. यदि किसी त्रिभुज की भुजाओं को 5/3 के अनुपात में बढ़ाया जाए, तो नया त्रिभुज मूल त्रिभुज से कैसा होगा?

छोटा बड़ा बराबर आधा

उत्तर:
व्याख्या: अनुपात 5/3 है। ऊपर वाला नंबर (5) बड़ा है, इसका मतलब नया वाला त्रिभुज 'बड़ा' बनेगा।

Q13. रेखाखंड को समद्विभाजित (Bisect) करने के लिए परकार को कितना खोलना चाहिए?

आधे से कम आधे के बराबर आधे से ज्यादा पूरा

उत्तर:
व्याख्या: लाइन को आधा करने के लिए परकार को अंदाजे से 'आधे से थोड़ा ज्यादा' खोलना पड़ता है ताकि चाप आपस में कट सकें।

Q14. 90° का कोण बनाने के लिए 60° के चाप के बाद अगला चाप कितने डिग्री का होता है?

120° 180° 90° 150°

उत्तर:
व्याख्या: पहला कट 60° का होता है, दूसरा कट 120° का होता है। 90° इन दोनों के बीच में बनता है।

Q15. एक समकोण त्रिभुज कर्ण (Hypotenuse) और एक भुजा दी गई हो, तो उसकी रचना के लिए कौन सा नियम लगता है?

SSS SAS RHS ASA

उत्तर:
व्याख्या: समकोण (R), कर्ण (H) और भुजा (S)। इसलिए इसे RHS नियम कहते हैं।

Q16. किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ आपस में कैसी होती हैं?

असमान बराबर दुगनी आधी

उत्तर:
व्याख्या: जादू जैसा है! बाहर के एक ही बिंदु से खींची गई दोनों लाइनें हमेशा बिल्कुल बराबर होती हैं।

Q17. यदि स्केल गुणांक (Scale Factor) 3/5 है, तो समरूप त्रिभुज मूल त्रिभुज से कैसा बनेगा?

बड़ा छोटा बराबर इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: 3/5 में ऊपर वाला नंबर (3) छोटा है। इसका मतलब नया त्रिभुज 'छोटा' बनेगा। (यदि ऊपर वाला छोटा, तो त्रिभुज छोटा)।

Q18. 15° का कोण बनाने के लिए किस कोण का समद्विभाजन (Bisect) करना पड़ता है?

60° 45° 30° 90°

उत्तर:
व्याख्या: 30 का आधा 15 होता है। इसलिए 30° के कोण को बीच से काटेंगे तो 15° मिलेगा।

Q19. रचना के चरण (Steps of Construction) लिखने का मुख्य उद्देश्य क्या है?

पेज भरना चित्र को समझाना समय बिताना गलती छिपाना

उत्तर:
व्याख्या: यह बताने के लिए कि हमने ड्राइंग कैसे बनाई, पहले क्या किया और बाद में क्या किया।

Q20. एक रेखाखंड AB को 4:3 के अनुपात में विभाजित करने पर, यह कुल कितने बराबर भागों में बँटता है?

4 3 7 1

उत्तर:
व्याख्या: अनुपात के दोनों अंकों को जोड़ दो। 4 + 3 = 7 टुकड़े।

Q21. परकार का उपयोग मुख्य रूप से क्या खींचने के लिए किया जाता है?

सीधी रेखा चाप और वृत्त वर्ग आयत

उत्तर:
व्याख्या: परकार (Compass) गोल घुमाने के काम आता है, जिससे हम चाप (Arc) या पूरा गोला (वृत्त) बनाते हैं।

Q22. किसी कोण को तीन बराबर भागों में बाँटने को क्या कहते हैं?

समद्विभाजन समत्रिभाजन लंबार्द्धक स्पर्श रेखन

उत्तर:
व्याख्या: दो भागों में बाँटना 'द्विभाजन' और तीन भागों में बाँटना 'त्रिभाजन' (Trisection) कहलाता है।

Q23. एक त्रिभुज की भुजाएँ 4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी हैं। इसके समरूप एक त्रिभुज बनाना है जिसकी भुजाएँ 2/3 गुनी हों। तो हमें सबसे बड़ी भुजा के कितने टुकड़े करने होंगे?

2 3 5 6

उत्तर:
व्याख्या: अनुपात 2/3 है। इन दोनों में बड़ा अंक 3 है, इसलिए हम आधार रेखा के 3 बराबर टुकड़े करेंगे।

Q24. वृत्त के बाहर स्थित बिंदु P से स्पर्श रेखा खींचने के लिए सबसे पहले हमें किस रेखा का समद्विभाजन करना होता है?

त्रिज्या का व्यास का बिंदु P और केंद्र O को मिलाने वाली रेखा का जीवा का

उत्तर:
व्याख्या: केंद्र (O) और बाहरी बिंदु (P) को जोड़ने वाली लाइन (OP) को बीच से काटकर ही हम स्पर्श रेखा का निर्माण शुरू करते हैं।

Q25. चाप (Arc) लगाते समय परकार की नोक को:

बार-बार हिलाना चाहिए स्थिर रखना चाहिए ढीला रखना चाहिए उठा लेना चाहिए

उत्तर:
व्याख्या: अगर परकार की नोक हिली, तो गोला टेढ़ा हो जाएगा। इसलिए उसे एक जगह 'फिक्स' (स्थिर) रखना चाहिए।

Q26. समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) का प्रत्येक कोण कितने डिग्री का होता है?

30° 60° 90° 45°

उत्तर:
व्याख्या: समबाहु मतलब सारी भुजाएँ बराबर। तो सारे कोण भी बराबर। 180 को 3 से भाग दो = 60°।

Q27. 60° का कोण बनाने के लिए हम आधार रेखा पर चाप कहाँ से लगाते हैं?

कहीं से भी प्रारंभिक बिंदु से रेखा के बीच से रेखा के ऊपर से

उत्तर:
व्याख्या: जहाँ से लाइन शुरू होती है (कोना), वहीं परकार की नोक रखकर पहला चाप लगाते हैं।

Q28. किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का युग्म (Pair) खींचने के लिए, उनके बीच का कोण 60° है। तो त्रिज्याओं के बीच कोण कितना बनाना होगा?

60° 90° 120° 180°

उत्तर:
व्याख्या: चतुर्भुज के आमने-सामने के कोणों का जोड़ 180 होता है। 180 - 60 = 120°।

Q29. 7.6 सेमी लम्बे रेखाखंड को 5:8 में विभाजित करने पर दोनों भागों की लम्बाई का योग क्या होगा?

5 सेमी 8 सेमी 7.6 सेमी 13 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: भाई, रेखाखंड को काटा ही तो है, उसकी कुल लंबाई थोड़ी बदलेगी। वह 7.6 सेमी ही रहेगी।

Q30. ज्यामितीय रचनाओं में 'चाप' (Arc) क्या है?

सीधी रेखा वृत्त का एक हिस्सा त्रिभुज बिंदु

उत्तर:
व्याख्या: जब हम परकार घुमाते हैं, तो जो टेढ़ी लाइन बनती है, वह पूरे गोले (वृत्त) का एक छोटा टुकड़ा होती है।

Q31. एक रेखाखंड AB को m:n अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने पर, बिंदु P रेखाखंड पर कहाँ स्थित होगा?

A और B के बीच में B के बाहर A के बाहर कहीं भी

उत्तर:
व्याख्या: 'आंतरिक' का मतलब ही है 'अंदर'। इसलिए बिंदु P, A और B के बीच में ही होगा।

Q32. यदि किसी त्रिभुज के आधार को समद्विभाजित किया जाए, तो वह रेखा क्या कहलाती है?

माध्यिका (Median) शीर्षलंब कोण समद्विभाजक स्पर्श रेखा

उत्तर:
व्याख्या: शीर्ष से सामने वाली भुजा के बीचों-बीच (मध्य बिंदु) जाने वाली रेखा को माध्यिका कहते हैं।

Q33. 75° का कोण बनाने के लिए किन दो कोणों के बीच का कोण समद्विभाजित करना होगा?

60° और 90° 60° और 120° 30° और 60° 90° और 120°

उत्तर:
व्याख्या: 75, 60 और 90 के बिल्कुल बीच में आता है। (60+90)/2 = 150/2 = 75°।

Q34. वृत्त की स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर...

60° का कोण बनाती है लंब होती है समांतर होती है आधी होती है

उत्तर:
व्याख्या: यह नियम याद रखें: स्पर्श रेखा और त्रिज्या हमेशा एक-दूसरे पर 'लंब' (90°) होते हैं।

Q35. 135° का कोण बनाने के लिए हम किसका उपयोग कर सकते हैं?

90° और 180° का समद्विभाजन 60° और 90° का समद्विभाजन 120° और 180° का समद्विभाजन 90° और 120° का समद्विभाजन

उत्तर:
व्याख्या: 90 और 180 के बीच में 135 आता है। (90+180)/2 = 270/2 = 135°।

Q36. क्या हम बिना परकार के केवल स्केल से सटीक 37.5° का कोण बना सकते हैं?

हाँ नहीं शायद कभी-कभी

उत्तर:
व्याख्या: स्केल से हम सिर्फ लाइन खींच सकते हैं, सटीक कोण नहीं। उसके लिए परकार या चाँदा चाहिए।

Q37. 22.5° का कोण बनाने के लिए किस कोण को आधा करना पड़ेगा?

60° 45° 90° 30°

उत्तर:
व्याख्या: 45 का आधा 22.5 होता है। इसलिए 45° को समद्विभाजित करना होगा।

Q38. एक त्रिभुज ABC, जिसमें BC=6cm, AB=5cm और ∠ABC=60° है, की रचना संभव है?

हाँ नहीं जानकारी अधूरी है कहा नहीं जा सकता

उत्तर:
व्याख्या: हाँ, क्योंकि हमारे पास दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (SAS नियम) मौजूद है।

Q39. परकार की मदद से निम्न में से कौन सा कोण नहीं बनाया जा सकता?

30° 45° 70° 90°

उत्तर:
व्याख्या: 70° का कोण 15 के पहाड़े में नहीं आता और इसे आधा-आधा करके भी नहीं ला सकते। इसके लिए चाँदा (Protractor) चाहिए।

Q40. वृत्त की स्पर्श रेखा और स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या के बीच का कोण कितना होता है?

45° 90° 60° 180°

उत्तर:
व्याख्या: यह सवाल बार-बार आता है, उत्तर रट लो: 90 डिग्री (समकोण)।

Q41. किसी रेखाखंड AB को 2:3 में बांटने के लिए A से खींची गई किरण पर कुल कितने चाप लगेंगे?

2 3 5 6

उत्तर:
व्याख्या: अनुपातों को जोड़ो: 2 + 3 = 5। तो 5 चाप लगेंगे।

Q42. समरूप त्रिभुज की रचना में यदि स्केल गुणक 1 से बड़ा है (जैसे 5/3), तो नया त्रिभुज...

मूल त्रिभुज से बड़ा होगा मूल त्रिभुज से छोटा होगा मूल त्रिभुज के बराबर होगा बनेगा ही नहीं

उत्तर:
व्याख्या: 1 से बड़ा मतलब 'ज्यादा'। तो त्रिभुज भी बड़ा बनेगा। (5/3 का मान 1 से ज्यादा है)।

Q43. एक वृत्त के व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी किसके बराबर होती है?

त्रिज्या व्यास परिधि जीवा

उत्तर:
व्याख्या: एक लाइन ऊपर, एक नीचे। बीच की दूरी उतनी ही होगी जितनी वृत्त की चौड़ाई, यानी व्यास।

Q44. यदि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ समान हों, तो वे कहलाते हैं:

समरूप सर्वांगसम संकेंद्रीय इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: अगर साइज बिल्कुल सेम है, तो वे एक-दूसरे को पूरा ढक लेंगे। इसे 'सर्वांगसम' (Congruent) कहते हैं।

Q45. रचना करते समय, पेंसिल होनी चाहिए:

बहुत मोटी नुकीली और बारीक टूटी हुई रंगीन

उत्तर:
व्याख्या: सफाई और सटीकता (Accuracy) के लिए पेंसिल हमेशा तेज और नुकीली होनी चाहिए।

Q46. 105° का कोण बनाने के लिए किन कोणों के बीच काम करना होगा?

60° और 90° 90° और 120° 120° और 150° 90° और 180°

उत्तर:
व्याख्या: 105, 90 और 120 के बीच आता है। (90+120)/2 = 210/2 = 105°।

Q47. स्केल गुणक (Scale Factor) m/n में यदि m < n है, तो बनने वाला त्रिभुज होगा:

छोटा बड़ा समान अनिश्चित

उत्तर:
व्याख्या: m < n मतलब ऊपर वाला नंबर छोटा है। ऊपर छोटा = त्रिभुज छोटा।

Q48. क्या हम 4 सेमी, 5 सेमी और 10 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज की रचना कर सकते हैं?

हाँ नहीं शायद पता नहीं

उत्तर:
व्याख्या: त्रिभुज का नियम: दो छोटी भुजाओं का जोड़ (4+5=9) तीसरी भुजा (10) से बड़ा होना चाहिए। यहाँ 9 छोटा है 10 से, इसलिए त्रिभुज नहीं बनेगा।

Q49. बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 10 सेमी है। यदि वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है, तो केंद्र से उस बिंदु की दूरी पाइथागोरस प्रमेय से कितनी होगी?

√125 √75 15 5

उत्तर:
व्याख्या: कर्ण निकालना है। कर्ण² = लंब² + आधार²। √(10² + 5²) = √(100 + 25) = √125।

Q50. रचना के दौरान 'किरण AX' खींचते समय हमें कौन सा कोण बनाना चाहिए?

समकोण अधिक कोण न्यूनकोण कोई भी

उत्तर:
व्याख्या: रेखा को बांटने के लिए हम नीचे की तरफ एक टेढ़ी लाइन खींचते हैं जो 90 डिग्री से कम (न्यूनकोण) होती है।

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➡️ अगला अध्याय - 12: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल के लिए अध्ययन (Areas Related to Circles)

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