कक्षा 10 गणित अध्याय 12 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल के लिए अध्ययन – नोट्स, प्रश्न उत्तर, MCQ टेस्ट

Class 10 Maths Chapter 12 Areas Related to Circles Notes, Questions With Answers & 50 MCQ Test (CBSE / Bihar Board)

📜 परिचय (Introduction)

हमने पिछले अध्याय में वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल पढ़ा था। इस अध्याय में हम वृत्त के "टुकड़ों" का क्षेत्रफल निकालना सीखेंगे, जिन्हें हम त्रिज्यखंड (Sector) और वृत्तखंड (Segment) कहते हैं।

1. त्रिज्यखंड और वृत्तखंड में अंतर

🍕 त्रिज्यखंड (Sector): पिज्जा के टुकड़े जैसा भाग, जो दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है।

🌙 वृत्तखंड (Segment): रोटी के टुकड़े जैसा भाग, जो एक जीवा और एक चाप से घिरा होता है।

2. महत्वपूर्ण सूत्र (Magic Formulas)

A. त्रिज्यखंड (Sector) के सूत्र

• 🔹 क्षेत्रफल (Area) = (θ/360) × πr²
• 🔹 चाप की लंबाई (Length of Arc) = (θ/360) × 2πr

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B. वृत्तखंड (Segment) का सूत्र

वृत्तखंड का सीधा कोई सूत्र नहीं होता। इसे ऐसे निकालते हैं:

वृत्तखंड का क्षे० = (त्रिज्यखंड का क्षे०) - (त्रिभुज का क्षे०)

(त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 r² sin θ होता है, या समबाहु हो तो √3/4 a²)

3. उदाहरण 1: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

प्रश्न: 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।

हल:
1. r = 6 cm, θ = 60°
2. सूत्र: Area = (θ/360) × πr²
= (60/360) × (22/7) × (6)²
= (1/6) × (22/7) × 36
= (1 × 22 × 6) / 7
= 132 / 7
= 18.86 cm² (लगभग)

4. उदाहरण 2: घड़ी की सुई (Most Important)

प्रश्न: एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
1. r = 14 cm (सुई की लंबाई)
2. कोण (θ) कैसे निकालें?
60 मिनट में पूरा चक्कर = 360°
1 मिनट में = 360/60 = 6°
तो, 5 मिनट में = 5 × 6 = 30°

3. अब क्षेत्रफल निकालें:
Area = (30/360) × (22/7) × (14)²
= (1/12) × (22/7) × 196
= 154 / 3 cm²
= 51.33 cm²

📝 परीक्षा सारांश (Exam Summary)

• 🍕 त्रिज्यखंड vs वृत्तखंड: प्रश्न में ध्यान से पढ़ें कि "त्रिज्यखंड" (Sector - पिज्जा जैसा टुकड़ा) पूछा है या "वृत्तखंड" (Segment - जीवा से कटा हुआ टुकड़ा)। छात्र अक्सर इसमें कंफ्यूज होते हैं।
• 📐 कोण (θ) निकालना:
  • घड़ी की सुई: 1 मिनट = 6° (5 मिनट = 30°)।
  • पहिया: 1 चक्कर = 360° (2πr दूरी)।
• ⚠️ इकाई (Unit) का ध्यान: क्षेत्रफल हमेशा वर्ग इकाई (cm², m²) में होता है। उत्तर में cm² लगाना न भूलें, वरना ½ नंबर कट सकता है।
• 💡 कैलकुलेशन टिप: π का मान (22/7) और r² को पहले ही काटकर हल करने की कोशिश करें। अंतिम गुणा-भाग (Calculation) एकदम लास्ट स्टेप में करें ताकि गलती कम हो।

"वृत्तखंड (Segment) का क्षेत्रफल निकालने के लिए (त्रिज्यखंड - त्रिभुज) वाला तरीका सबसे सटीक है। संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल (1/2 r² sinθ) याद रखें।"

📋 पाठ-आधारित महत्वपूर्ण प्रश्न (Self Test)

(नीचे दिए गए प्रश्नों को हल करें और अपनी तैयारी जांचें)

Q1. (लघु) यदि एक वृत्त का परिमाप (Circumference) और क्षेत्रफल (Area) संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. माना वृत्त की त्रिज्या r है。
प्रश्न के अनुसार: परिमाप = क्षेत्रफल
2πr = πr²

2. दोनों तरफ से π और π कट जाएगा。
2r = r²

3. अब एक r से एक r कट जाएगा (क्योंकि r शून्य नहीं हो सकता)。
2 = r
या r = 2

निष्कर्ष:
अतः वृत्त की त्रिज्या 2 मात्रक है。

Q2. (लघु) दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. पहले वृत्त का क्षेत्रफल = π(8)² = 64π
दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल = π(6)² = 36π

2. दोनों का जोड़ = 64π + 36π = 100π

3. माना नए वृत्त की त्रिज्या R है。
नए वृत्त का क्षेत्रफल = πR²

4. शर्त के अनुसार:
πR² = 100π

5. π से π कट गया。
R² = 100
R = √100
R = 10

निष्कर्ष:
अतः नए वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है。

Q3. (लघु) एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई 14 सेमी है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. घड़ी पूरा एक चक्कर (360°) 60 मिनट में लगाती है。
तो 1 मिनट में कोण = 360/60 = 6°
इसलिए 5 मिनट में कोण (θ) = 5 × 6 = 30°

2. त्रिज्या (r) = 14 सेमी
त्रिज्यखंड (Sector) का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²

3. मान रखने पर:
= (30/360) × (22/7) × 14 × 14
= (1/12) × 22 × 2 × 14
= (1/12) × 616
= 616 / 12
= 154 / 3
= 51.33 सेमी² (लगभग)

निष्कर्ष:
अतः 5 मिनट में बना क्षेत्रफल 154/3 सेमी² है。

Q4. (लघु) 6 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड (Sector) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. त्रिज्या (r) = 6 सेमी
कोण (θ) = 60°

2. सूत्र: क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²

3. = (60/360) × (22/7) × 6 × 6
= (1/6) × (22/7) × 36

4. 6 से 36 को काटेंगे तो 6 आएगा。
= 1 × (22/7) × 6
= 132 / 7
= 18.86 सेमी² (लगभग)

निष्कर्ष:
अतः त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 132/7 सेमी² है。

Q5. (लघु) एक वृत्त के चतुर्थांश (Quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 सेमी है।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. परिधि = 2πr = 22
2 × (22/7) × r = 22

2. 22 से 22 कट गया。
2r/7 = 1
2r = 7
r = 7/2 = 3.5 सेमी

3. चतुर्थांश का मतलब वृत्त का चौथा हिस्सा (1/4)。
क्षेत्रफल = (1/4)πr²
= (1/4) × (22/7) × (7/2) × (7/2)

4. काटने पर:
= (1/4) × 22 × (1/2) × (7/2)
= (1/8) × 11 × 7
= 77 / 8
= 9.625 सेमी²

निष्कर्ष:
अतः क्षेत्रफल 77/8 सेमी² है。

Q6. (लघु) 21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण बनाता है। चाप की लंबाई (Length of Arc) ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. r = 21 सेमी
θ = 60°

2. चाप की लंबाई का सूत्र = (θ/360) × 2πr

3. = (60/360) × 2 × (22/7) × 21
= (1/6) × 2 × 22 × 3 (7 से 21 को काटा तो 3 आया)
= (1/6) × 132
= 22 सेमी

निष्कर्ष:
अतः चाप की लंबाई 22 सेमी है。

Q7. (लघु) एक कार के पहिये का व्यास 80 सेमी है। यदि कार 66 किमी/घंटे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में पहिया कितने चक्कर लगाएगा? (सिर्फ एक चक्कर की दूरी बताएँ)

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. व्यास = 80 सेमी, तो त्रिज्या (r) = 40 सेमी。

2. एक चक्कर में पहिया अपनी परिधि के बराबर दूरी तय करता है。
परिधि = 2πr
= 2 × (22/7) × 40
= 1760 / 7 सेमी
= 251.42 सेमी (लगभग)

निष्कर्ष:
अतः एक चक्कर में पहिया 1760/7 सेमी की दूरी तय करेगा。

Q8. (दीर्घ) 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा (Chord) केंद्र पर समकोण (90°) अंतरित करती है। लघु वृत्तखंड (Minor Segment) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 का प्रयोग करें)

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = (त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल) - (त्रिभुज का क्षेत्रफल)

2. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:
= (θ/360) × πr²
= (90/360) × 3.14 × 10 × 10
= (1/4) × 314
= 78.5 सेमी²

3. त्रिभुज का क्षेत्रफल (समकोण त्रिभुज):
= 1/2 × आधार × ऊँचाई
= 1/2 × 10 × 10 (क्योंकि आधार और ऊँचाई दोनों त्रिज्या ही हैं)
= 50 सेमी²

4. वृत्तखंड का क्षेत्रफल:
= 78.5 - 50
= 28.5 सेमी²

निष्कर्ष:
अतः लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल 28.5 सेमी² है。

Q9. (दीर्घ) एक वर्गाकार रूमाल पर, नौ वृत्ताकार डिज़ाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 सेमी है। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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हल (कदम-दर-कदम):

1. एक वृत्त (डिज़ाइन) का क्षेत्रफल:
= πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154 सेमी²

2. कुल 9 डिज़ाइन का क्षेत्रफल:
= 9 × 154 = 1386 सेमी²

3. वर्ग की भुजा:
एक लाइन में 3 वृत्त सटे हुए हैं。
तो भुजा = 3 × व्यास
व्यास = 14 सेमी (त्रिज्या 7 है)
भुजा = 3 × 14 = 42 सेमी

4. वर्ग का कुल क्षेत्रफल:
= भुजा × भुजा = 42 × 42 = 1764 सेमी²

5. शेष भाग का क्षेत्रफल:
= (वर्ग का क्षेत्रफल) - (9 वृत्तों का क्षेत्रफल)
= 1764 - 1386
= 378 सेमी²

निष्कर्ष:
अतः शेष भाग का क्षेत्रफल 378 सेमी² है。

Q10. (दीर्घ) एक दौड़ने का पथ (Racing Track) वलयाकार है जिसकी आंतरिक परिधि 440 मीटर है और बाहरी परिधि 506 मीटर है। ट्रैक की चौड़ाई और उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

👁️ उत्तर देखें

हल (कदम-दर-कदम):

1. आंतरिक त्रिज्या (r):
2πr = 440
2 × (22/7) × r = 440
44r / 7 = 440
r = (440 × 7) / 44 = 70 मीटर

2. बाहरी त्रिज्या (R):
2πR = 506
2 × (22/7) × R = 506
44R / 7 = 506
R = (506 × 7) / 44 = 80.5 मीटर

3. ट्रैक की चौड़ाई:
= R - r = 80.5 - 70 = 10.5 मीटर

4. ट्रैक का क्षेत्रफल (वलय का क्षेत्रफल):
= π(R² - r²)
= (22/7) (80.5² - 70²)
सूत्र a² - b² = (a-b)(a+b) लगाने पर:
= (22/7) (80.5 - 70)(80.5 + 70)
= (22/7) (10.5)(150.5)
= 22 × 1.5 × 150.5
= 33 × 150.5
= 4966.5 मीटर²

निष्कर्ष:
अतः ट्रैक की चौड़ाई 10.5 मीटर और क्षेत्रफल 4966.5 मीटर² है。

📘 यह MCQ टेस्ट बोर्ड परीक्षा पैटर्न पर आधारित है।

⏱️ समय: 50 मिनट | ❓ प्रश्न: 50 | 📊 तुरंत परिणाम

⏳ 50:00

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Q1. वृत्त का क्षेत्रफल (Area) निकालने का सूत्र क्या होता है?

2πr πr² 2πr² πd

उत्तर:
व्याख्या: वृत्त के अंदर कितनी जगह है, यह निकालने के लिए हम त्रिज्या (r) का वर्ग करते हैं और π से गुणा करते हैं।

Q2. यदि वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो वृत्त की परिधि (Circumference) क्या होगी? (π = 22/7)

22 सेमी 44 सेमी 154 सेमी 88 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: परिधि = 2πr = 2 × (22/7) × 7। सात से सात कट गया, बचा 2 × 22 = 44।

Q3. दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात 4:1 है, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात क्या होगा?

4:1 2:1 16:1 1:2

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफल में 'स्क्वायर' होता है। वापस त्रिज्या (सादा) पर आने के लिए 'रूट' (वर्गमूल) निकालना होगा। √4 = 2 और √1 = 1।

Q4. अर्द्धवृत्त (Semi-circle) का परिमाप क्या होता है?

πr πr + 2r 2πr πr²

उत्तर:
व्याख्या: आधा गोला (πr) और नीचे की सीधी लाइन (व्यास = 2r) दोनों को जोड़ना पड़ता है। इसलिए πr + 2r।

Q5. यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है, तो उस वृत्त की त्रिज्या है:

2 मात्रक π मात्रक 4 मात्रक 7 मात्रक

उत्तर:
व्याख्या: 2πr = πr²। π कटा, एक r कटा। बचा r = 2।

Q6. कोण θ वाले त्रिज्यखंड (Sector) का क्षेत्रफल क्या होगा?

(θ/360) × 2πr (θ/360) × πr² (θ/180) × πr² 2πr

उत्तर:
व्याख्या: पूरा क्षेत्रफल πr² होता है। हमें सिर्फ θ हिस्सा चाहिए, तो (θ/360) से गुणा कर दो।

Q7. एक पहिए का व्यास 40 सेमी है। 176 मीटर दूरी तय करने में इसे कितने चक्कर लगाने होंगे?

140 150 160 100

उत्तर:
व्याख्या: पहले परिधि निकालो (π × 40)। फिर कुल दूरी को परिधि से भाग दो। (ध्यान रहे मीटर को सेमी में बदलना होगा)। उत्तर 140 आएगा।

Q8. चाप की लंबाई (Length of Arc) का सूत्र क्या है?

(θ/360) × πr² (θ/360) × 2πr 2πr πr

उत्तर:
व्याख्या: चाप परिधि का टुकड़ा है। परिधि 2πr है, तो चाप (θ/360) × 2πr होगा।

Q9. यदि वृत्त का क्षेत्रफल 154 सेमी² है, तो इसका व्यास क्या होगा?

7 सेमी 14 सेमी 22 सेमी 21 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: πr² = 154 ⇒ r² = 49 ⇒ r = 7। व्यास त्रिज्या का डबल होता है, तो 7 × 2 = 14 सेमी।

Q10. एक वृत्त के चतुर्थांश (Quadrant) का क्षेत्रफल क्या होगा यदि त्रिज्या r है?

πr²/2 πr²/4 2πr πr²

उत्तर:
व्याख्या: चतुर्थांश मतलब चौथा हिस्सा। पूरे क्षेत्रफल को 4 से भाग दे दो।

Q11. दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 2:3 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

2:3 4:9 8:27 4:6

उत्तर:
व्याख्या: परिधि का अनुपात = त्रिज्या का अनुपात। क्षेत्रफल निकालने के लिए इनका वर्ग (Square) करो। 2²=4, 3²=9।

Q12. घड़ी की मिनट की सुई 1 मिनट में कितना कोण बनाती है?

60° 30° 6° 1°

उत्तर:
व्याख्या: 60 मिनट में 360 डिग्री घूमती है। तो 1 मिनट में 360/60 = 6 डिग्री।

Q13. वृत्त की सबसे बड़ी जीवा (Chord) क्या कहलाती है?

त्रिज्या चाप व्यास स्पर्श रेखा

उत्तर:
व्याख्या: जो लाइन वृत्त के पेट (केंद्र) के बीच से जाती है, वह सबसे लंबी होती है, जिसे व्यास कहते हैं।

Q14. 6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसका कोण 60° है।

132/7 सेमी² 154/7 सेमी² 66 सेमी² 110 सेमी²

उत्तर:
व्याख्या: (60/360) × (22/7) × 6 × 6। 6 से 6 कटा। 22 × 6 / 7 = 132/7।

Q15. यदि एक वृत्त की परिधि 10π सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

10π सेमी² 20π सेमी² 25π सेमी² 5π सेमी²

उत्तर:
व्याख्या: 2πr = 10π। π कटा, 2r = 10, तो r = 5। क्षेत्रफल = π(5)² = 25π।

Q16. वृत्तखंड (Segment) का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल + त्रिभुज का क्षेत्रफल केवल त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल इनमें से कोई नहीं

उत्तर:
व्याख्या: पिज्जा के टुकड़े (त्रिज्यखंड) में से ऊपर का तिकोना हिस्सा (त्रिभुज) हटा दो, तो नीचे का किनारा (वृत्तखंड) बचता है।

Q17. यदि वृत्त की त्रिज्या को दुगना कर दिया जाए, तो उसका क्षेत्रफल कितना गुना हो जाएगा?

2 गुना 3 गुना 4 गुना आधा

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफल r² होता है। अगर r को 2 गुना करोगे, तो 2² = 4 गुना हो जाएगा।

Q18. दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ R और r (R > r) हैं। उनके बीच के वलय (Ring) का क्षेत्रफल क्या होगा?

π(R² - r²) π(R² + r²) π(R - r) 2π(R - r)

उत्तर:
व्याख्या: बड़े गोले के क्षेत्रफल में से छोटे गोले का क्षेत्रफल घटा दो। πR² - πr² = π(R² - r²)।

Q19. एक वृत्त का व्यास 14 सेमी है, तो उसकी परिधि क्या होगी?

22 सेमी 44 सेमी 66 सेमी 88 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: व्यास d=14। परिधि = πd = (22/7) × 14 = 22 × 2 = 44 सेमी।

Q20. π का मान लगभग कितना होता है?

22/7 3.14 दोनों a और b 1.414

उत्तर:
व्याख्या: हम गणना के लिए 22/7 और 3.14 दोनों का उपयोग करते हैं।

Q21. एक वृत्ताकार खेत पर 24 रुपये प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का कुल खर्च 5280 रुपये है। खेत की त्रिज्या क्या है?

17.5 मीटर 35 मीटर 20 मीटर 28 मीटर

उत्तर:
व्याख्या: परिधि = कुल खर्च / दर = 5280/24 = 220 मीटर। 2πr = 220, तो r = (220 × 7) / (2 × 22) = 35 मीटर।

Q22. यदि किसी वृत्त की त्रिज्या आधी कर दी जाए, तो पुराने और नए वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

1:2 1:4 4:1 2:1

उत्तर:
व्याख्या: पुराना r था, नया r/2 है। क्षेत्रफल अनुपात = r² : (r/2)² = r² : r²/4 = 4:1। (पुराना बड़ा है)।

Q23. एक समबाहु त्रिभुज जिसका क्षेत्रफल 121√3 सेमी² है, उसके अंदर बने वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा?

121π 44π 121π/3 154

उत्तर:
व्याख्या: यह थोड़ा कठिन है। सही उत्तर 121π/3 आता है (भुजा निकालें, फिर अंतःत्रिज्या r=a/2√3)।

Q24. त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण P° है:

(P/180) × 2πR (P/180) × πR² (P/360) × 2πR (P/720) × 2πR²

उत्तर:
व्याख्या: (P/360) × πR² सही होता है। अगर ऊपर-नीचे 2 से गुणा करें, तो (P/720) × 2πR² बन जाता है।

Q25. एक वर्ग के अंतर्गत खींचे गए वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा यदि वर्ग की भुजा 14 सेमी है?

196 सेमी² 154 सेमी² 308 सेमी² 44 सेमी²

उत्तर:
व्याख्या: अगर वृत्त वर्ग के अंदर है, तो वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा (14) के बराबर होगा। त्रिज्या 7 हुई। क्षेत्रफल = 154।

Q26. वृत्त की परिधि और व्यास का अनुपात होता है:

π:1 1:π 2:1 1:2

उत्तर:
व्याख्या: परिधि πd होती है। तो अनुपात हुआ πd/d = π/1।

Q27. यदि एक अर्द्धवृत्ताकार चांदी का व्यास 14 सेमी है, तो उसका परिमाप होगा:

22 सेमी 36 सेमी 44 सेमी 58 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: त्रिज्या = 7। परिमाप = πr + 2r = 22 + 14 = 36 सेमी।

Q28. 21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में, एक चाप केंद्र पर 60° का कोण बनाता है। चाप की लंबाई क्या है?

22 सेमी 11 सेमी 44 सेमी 21 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: (60/360) × 2 × (22/7) × 21 = (1/6) × 132 = 22 सेमी।

Q29. एक साइकिल का पहिया 11 किमी चलने में 5000 चक्कर लगाता है। पहिए का व्यास क्या है?

70 सेमी 35 सेमी 140 सेमी 100 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: 1 चक्कर की दूरी = 11000 मी / 5000 = 2.2 मी = 220 सेमी। परिधि 220 है, तो व्यास 70 सेमी होगा।

Q30. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 8 सेमी और 6 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है?

14 सेमी 10 सेमी 12 सेमी 48 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 सेमी।

Q31. किसी वृत्त के बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई और वृत्त की त्रिज्या के बीच कौन सा कोण होता है?

90° 60° 45° 30°

उत्तर:
व्याख्या: त्रिज्या और स्पर्श रेखा हमेशा एक-दूसरे पर लंब (90°) होते हैं।

Q32. यदि एक वृत्त की परिधि 2π से बढ़कर 4π हो जाए, तो उसका क्षेत्रफल कितना गुना हो जाएगा?

2 गुना 3 गुना 4 गुना समान रहेगा

उत्तर:
व्याख्या: परिधि दुगनी हुई है (2 से 4), तो त्रिज्या भी दुगनी हुई होगी। क्षेत्रफल 4 गुना (2²) हो जाएगा।

Q33. एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14 सेमी है। 5 मिनट में इस सुई द्वारा रचित क्षेत्रफल क्या होगा?

154/3 सेमी² 44 सेमी² 154 सेमी² 308/3 सेमी²

उत्तर:
व्याख्या: 5 मिनट में 30° का कोण बनता है। (30/360) × (22/7) × 14 × 14 = 154/3।

Q34. दीर्घ त्रिज्यखंड (Major Sector) का कोण क्या होगा यदि लघु त्रिज्यखंड का कोण θ है?

180° - θ 360° - θ 90° - θ 360° + θ

उत्तर:
व्याख्या: पूरा गोला 360° का होता है। छोटा हिस्सा θ निकाल दो, तो बड़ा हिस्सा 360-θ बचेगा।

Q35. एक वृत्ताकार रास्ते की बाहरी और भीतरी परिधियाँ क्रमशः 23 मीटर और 20 मीटर हैं। रास्ते की चौड़ाई क्या होगी?

3 मीटर 3/2π मीटर 3π मीटर 21 मीटर

उत्तर:
व्याख्या: 2πR - 2πr = 3। तो 2π(R-r) = 3। चौड़ाई (R-r) = 3/2π।

Q36. क्या हम वृत्त के क्षेत्रफल को व्यास के रूप में लिख सकते हैं?

πd² πd²/2 πd²/4 2πd

उत्तर:
व्याख्या: r = d/2 होता है। तो π(d/2)² = πd²/4।

Q37. दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात a:b है, तो क्षेत्रफलों का अनुपात होगा:

a:b a²:b² √a:√b b:a

उत्तर:
व्याख्या: क्षेत्रफल हमेशा वर्ग (square) में होता है।

Q38. यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल 100π सेमी² है, तो उसकी त्रिज्या क्या है?

5 सेमी 10 सेमी 20 सेमी 50 सेमी

उत्तर:
व्याख्या: πr² = 100π। π कट गया, r² = 100, तो r = 10।

Q39. एक वर्ग के विकर्ण की लंबाई 10 सेमी है। इसके अंतर्गत बने वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा?

25π 12.5π 50π 10π

उत्तर:
व्याख्या: विकर्ण = a√2 = 10, तो भुजा a = 10/√2 = 5√2। वृत्त का व्यास = भुजा। त्रिज्या = 5√2 / 2। क्षेत्रफल = 12.5π।

Q40. वृत्त के एक चाप कर्ण (Chord) द्वारा केंद्र पर 90° का कोण बनता है। यदि त्रिज्या 10 सेमी है, तो लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल है (π=3.14):

28.5 सेमी² 78.5 सेमी² 50 सेमी² 38.5 सेमी²

उत्तर:
व्याख्या: (90/360)×3.14×100 - (1/2)×10×10 = 78.5 - 50 = 28.5।

Q41. तीन बराबर वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। यदि उनकी त्रिज्या a है, तो उनके बीच घिरे भाग का क्षेत्रफल क्या होगा?

a²(√3 - π/2) a²(√3 - π) √3a² 2πa²

उत्तर:
व्याख्या: समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल में से 3 त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल घटाना होता है।

Q42. 10 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के तीनों शीर्षों पर 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त खींचे गए हैं। त्रिभुज के उस भाग का क्षेत्रफल जो वृत्तों में नहीं आता?

25(√3 - π/2) 50√3 100 π

उत्तर:
व्याख्या: त्रिभुज (√3/4 × 100) - 3 × (60/360 × π × 25)। कॉमन लेने पर 25(√3 - π/2) आता है।

Q43. एक वृत्ताकार पार्क का क्षेत्रफल क्या होगा जिसकी परिधि 352 मीटर है?

9856 मी² 1000 मी² 5000 मी² 2000 मी²

उत्तर:
व्याख्या: 2πr = 352, r = 56। क्षेत्रफल = (22/7) × 56 × 56 = 9856।

Q44. यदि वृत्त का व्यास d है, तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा?

1/4 πd² 1/2 πd² πd² 2πd

उत्तर:
व्याख्या: r = d/2 रखने पर, π(d/2)² = 1/4 πd²।

Q45. एक गाय 14 मीटर लंबी रस्सी से एक खूंटे से बंधी है। वह कितने क्षेत्रफल की घास चर सकती है?

616 मी² 154 मी² 308 मी² 88 मी²

उत्तर:
व्याख्या: रस्सी की लंबाई ही त्रिज्या है (r=14)। क्षेत्रफल = (22/7) × 14 × 14 = 616।

Q46. अर्द्धवृत्त का केंद्रीय कोण कितना होता है?

90° 180° 360° 60°

उत्तर:
व्याख्या: पूरा वृत्त 360° का होता है। अर्द्धवृत्त उसका आधा भाग है, इसलिए उसका केंद्रीय कोण 360°/2 = 180° होता है।
(नोट: अर्द्धवृत्त पर स्थित कोण 90° होता है, लेकिन यहाँ केंद्रीय कोण पूछा गया है।)

Q47. यदि किसी वृत्त की परिधि 44 सेमी है, तो उसके चतुर्थांश का क्षेत्रफल क्या होगा?

77/2 सेमी² 154 सेमी² 44 सेमी² 77 सेमी²

उत्तर:
व्याख्या: परिधि 44 है तो त्रिज्या 7 होगी। पूरा क्षेत्रफल 154। चौथाई हिस्सा = 154/4 = 77/2।

Q48. एक पहिया 88 किमी की दूरी तय करने में 1000 चक्कर लगाता है। पहिये की त्रिज्या है:

14 मीटर 7 मीटर 24 मीटर 10 मीटर

उत्तर:
व्याख्या: 1 चक्कर = 88000/1000 = 88 मीटर। 2πr = 88, तो r = 14 मीटर।

Q49. 'वृत्त का क्षेत्रफल' और 'वर्ग का क्षेत्रफल' बराबर है। उनकी परिमापों का अनुपात क्या होगा?

√π : 2 2 : √π 1 : 1 π : 2

उत्तर:
व्याख्या: πr² = a² ⇒ a = r√π। परिमाप अनुपात: 2πr / 4a = 2πr / 4r√π = √π / 2।

Q50. 42 सेमी व्यास वाले वृत्त का क्षेत्रफल क्या है?

1386 सेमी² 1540 सेमी² 616 सेमी² 2000 सेमी²

उत्तर:
व्याख्या: व्यास 42 है, तो त्रिज्या 21। क्षेत्रफल = (22/7) × 21 × 21 = 22 × 3 × 21 = 1386।

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